Ковёр Серпинского

1.4. Ковёр Серпинского

Автоподобная фигура, придуманная польским математиком В. Серпинским, называемая ковром Серпинского.

Построение ковра Серпинского

Она получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. А именно, разделим данный квадрат на девять равных квадратов и серединный квадрат вырежем. Получим квадрат с дыркой.

Для оставшихся восьми квадратов повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты вырежем. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.

Поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре Серпиского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки.

На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых имеет площадь 1/81. На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз.

Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальным членом 1/9 и знаменателем 8/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице, т.е. площадь ковра Серпинского равна нулю.

Возьмём теперь квадрат площадью, равной 2 и вырежем из него квадрат с тем же центром площадью 1/2. Оставшуюся часть представим в виде восьми прямоугольников и в каждом из них вырежем квадрат с тем же центром площади 1/32.

Таким образом, суммарная площадь маленьких квадратов будет равна 1/4. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру. Площадь этого ковра Серпинского будет отлична от нуля.

Площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальным членом 1/2 и знаменателем 1/2, т.е. равна 1.

Начиная не с квадрата, а с правильного треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим автоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского и называемую салфеткой Серпинского.