1.4. Ковёр Серпинского

Автоподобная фигура, придуманная польским математиком В. Серпинским, называемая ковром Серпинского.

Построение ковра Серпинского

Она получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. А именно, разделим данный квадрат на девять равных квадратов и серединный квадрат вырежем. Получим квадрат с дыркой.

Для оставшихся восьми квадратов повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты вырежем. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.

Поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре Серпиского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки.

Вычислим площадь ковра Серпинского, считая исходный квадрат единичным. Для этого достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов. На первом шаге вырезается квадрат площади 1/9.

На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых имеет площадь 1/81. На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз.

Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальным членом 1/9 и знаменателем 8/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице, т.е. площадь ковра Серпинского равна нулю.

Возьмём теперь квадрат площадью, равной 2 и вырежем из него квадрат с тем же центром площадью 1/2. Оставшуюся часть представим в виде восьми прямоугольников и в каждом из них вырежем квадрат с тем же центром площади 1/32.

Таким образом, суммарная площадь маленьких квадратов будет равна 1/4. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру. Площадь этого ковра Серпинского будет отлична от нуля.

Площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальным членом 1/2 и знаменателем 1/2, т.е. равна 1.

Начиная не с квадрата, а с правильного треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим автоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского и называемую салфеткой Серпинского.