1.2. Звезда Кох

Один из первых примеров автоподобных фигур был придуман немецким математиком Хельгой фон Кох. Называется звезда Кох.

Построение звезды Кох

Для её построения к начальному равностороннему треугольнику последовательно добавляют новые, подобные ему, треугольники.

На первом шаге стороны правильного треугольника разбиваются на три равные части и их середины заменяются на правильные треугольники, подобные исходному. В результате получается правильный звездчатый шестиугольник. Стороны этого шестиугольника снова разбиваются на три равные части, а их середины заменяются на правильные треугольники.

Длина кривой, ограничивающей звезду Кох

Мы можем выяснить, какова длина кривой, ограничивающей звезду Кох.

Предположим, что сторона исходного равностороннего треугольника равна 1, и периметр равен 3. На следующем шаге количество сторон увеличивается в 4 раза, а длина каждой из них в 3 раза меньше исходной.

Периметр правильного звездчатого шестиугольника будет равен (3*4)/3=4. На каждом следующем шаге периметр многоугольника будет увеличиваться в 4/3 раза.

Из этого следует, что кривая Кох, к которой приближаются многоугольники, имеет бесконечную длину.

Площадь звезды Кох

Вычислим площадь звезды Кох.

Пусть площадь исходного равностороннего треугольника равна 1. На первом шаге добавляем 3 равносторонних треугольника, со сторонами в 3 раза меньшими исходных.

Площадь каждого такого треугольника равна 1/9. Следовательно, площадь правильного звездчатого шестиугольника равна 1+3/9=4/3.

На следующем шаге добавляется 12 треугольников суммарной площади 12/81. Поскольку длины сторон треугольников на каждом шаге уменьшаются в 3 раза, их площадь уменьшается в 9 раз. Число добавляемых треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом шагу увеличивается в 4 раза.

S=b₁/1-q

Поэтому площадь звезды Кох представляет собой площадь исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9.

По формуле бесконечной геометрической прогрессии находим:

1. S=3/9:(1-4/9)=3/9:5/9=3/9*9/5=3/5
2. S_зв.Кох=1+S=1+3/5=8/5.

Звезда Кох из квадратов

Еще один вариант звезды Кох можно построить из квадратов последовательным прибавлением к исходному квадрату подобных ему квадратов.

На первом шаге стороны квадрата разбиваются на 3 равные части и их середины заменяются на квадраты, подобные исходному. Стороны получившегося многоугольника снова разбиваются на 3 равные части и их середины заменяются на квадраты.

Повторяя этот процесс, будем получать всё более сложные многоугольники, всё более приближающиеся к искомой фигуре.