Публикация материалов

Темы исследований

Наш баннер

Мы будем благодарны, если Вы установите наш баннер!
Баннер нашего сайта
Код баннера:
<a href="http://obuchonok.ru/" target="_blank"> <img src="http://obuchonok.ru/banners/banob2.gif" width="88" height="31" alt="Обучонок. Обучающие программы и исследовательские работы учащихся"></a>
Все баннеры...
Исследовательская работа: 
Автоподобные фигуры

1.2. Звезда Кох

Один из первых примеров автоподобных фигур был придуман немецким математиком Хельгой фон Кох. Называется звезда Кох.

Построение звезды Кох

Для её построения к начальному равностороннему треугольнику последовательно добавляют новые, подобные ему, треугольники.

Построение звезды Кох

На первом шаге стороны правильного треугольника разбиваются на три равные части и их середины заменяются на правильные треугольники, подобные исходному. В результате получается правильный звездчатый шестиугольник. Стороны этого шестиугольника снова разбиваются на три равные части, а их середины заменяются на правильные треугольники.

Длина кривой, ограничивающей звезду Кох

Мы можем выяснить, какова длина кривой, ограничивающей звезду Кох.

Длина кривой, ограничивающей звезду Кох
Предположим, что сторона исходного равностороннего треугольника равна 1, и периметр равен 3. На следующем шаге количество сторон увеличивается в 4 раза, а длина каждой из них в 3 раза меньше исходной.

Периметр правильного звездчатого шестиугольника будет равен (3*4)/3=4. На каждом следующем шаге периметр многоугольника будет увеличиваться в 4/3 раза.

Из этого следует, что кривая Кох, к которой приближаются многоугольники, имеет бесконечную длину.

Площадь звезды Кох

Вычислим площадь звезды Кох.

Площадь звезды Кох
Пусть площадь исходного равностороннего треугольника равна 1. На первом шаге добавляем 3 равносторонних треугольника, со сторонами в 3 раза меньшими исходных.

Площадь каждого такого треугольника равна 1/9. Следовательно, площадь правильного звездчатого шестиугольника равна 1+3/9=4/3.

На следующем шаге добавляется 12 треугольников суммарной площади 12/81. Поскольку длины сторон треугольников на каждом шаге уменьшаются в 3 раза, их площадь уменьшается в 9 раз. Число добавляемых треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом шагу увеличивается в 4 раза.

S=b1/1-q

Поэтому площадь звезды Кох представляет собой площадь исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9.

По формуле бесконечной геометрической прогрессии находим:

  1. S=3/9:(1-4/9)=3/9:5/9=3/9*9/5=3/5
  2. Sзв.Кох=1+S=1+3/5=8/5.

Звезда Кох из квадратов

Еще один вариант звезды Кох можно построить из квадратов последовательным прибавлением к исходному квадрату подобных ему квадратов.

Звезда Кох из квадратов

На первом шаге стороны квадрата разбиваются на 3 равные части и их середины заменяются на квадраты, подобные исходному. Стороны получившегося многоугольника снова разбиваются на 3 равные части и их середины заменяются на квадраты.

Повторяя этот процесс, будем получать всё более сложные многоугольники, всё более приближающиеся к искомой фигуре.

Фигура Кох из окружностей

Таким же образом можно построить фигуру Кох из окружностей.

Фигура Кох из окружностей

Перейти к разделу: 1.3. Фигура Кривая Пеано

Партнеры и статистика