Кривая Пеано
1.3. Кривая Пеано
Еще один пример кривой, получающейся последовательным приближением подобными многоугольниками, был получен Д. Пеано и называется кривой Пеано.
Построение кривой Пеано
Для ее построения данный квадрат разбивают на четыре равных квадрата и соединяют их центры тремя отрезками. Уберем внутренние стороны квадратов и из четырех их копий составим фигуру:
Снова уберем внутренние стороны квадратов и соединим тремя отрезками концы ломаных:
Повторяя описанную процедуру, будем получать более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано.
Ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата.
Поэтому кривая Пеано будет проходить через все точки исходного квадрата, т.е. она будет полностью заполнять весь исходный квадрат. Конечно, она будет иметь бесконечную длину.