Открытие ленты Мёбиуса

Результаты анкетирования одноклассников показали, что только около 14% (3 человека из 22) слышали понятие «лента Мёбиуса», а со свойствами и областью применения этой фигуры не знаком никто. Для дальнейшего объяснения экспериментов необходимо их изучить, тем более, что все респонденты высказали свою заинтересованность.

Лента Мебиуса является одной из самых необыкновенных геометрических фигур. Её изучает топология. Как говорит Р. Курант: «Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой» [1].

Основы аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем Александровым.[3].

Интерес вызывает уже само открытие ленты. Два математика, несвязанных между собой, открыли ее в одном и том же 1858 году. Этими открывателями были Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус, ученик «короля математики» Гаусса.

В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей. Согласно легенде открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. В 1868 году Август Фердинанд Мѐбиус умирает.

Статья о знаменитой ленте Мѐбиуса опубликована посмертно. Хотя похожая структура изображена на римской мозаике III века нашей эры [4]. Некоторые считают, что эта загадочная геометрическая фигура - прообраз перевернутой восьмерки-бесконечности, на самом деле это неверно. Этот символ был введен для использования намного раньше, чем была открыта лента Мебиуса. Но сходность смысла этих фигур определенно есть.

На наш взгляд, много удивительного, интересного и случайного, кроется уже в самом открытии ленты Мёбиуса.

В статье «Элементы топологии на примере листа Мёбиуса» [8] подробно описаны характерные свойства этого объекта.

Лист Мёбиуса – топологическая фигура, имеет один край и одну сторону, не меняет своих свойств, пока его не разрежут или не склеят [7].

№ пп	Свойство	Характеристика
1	Односторонность	– топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. Если двигаться по поверхности Ленты Мебиуса в одном направлении, не пересекая ее границ, то, в отличие от двусторонних поверхностей (например, сферы и цилиндры), попадаешь в место, перевернутое по отношению к исходному[6].
2	Непрерывность	это ещё одно топологическое свойство. С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера (Приложение 1) ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная[6].
3	Связность	1. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат и ромашка – односвязны, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Ну, а наш лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум и т.д.[6]
4	Ориентированность	- свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение[6].

Кроме этих четырёх свойств есть ещё одно – хроматический номер, но его объясняют с помощью графов. Для нас это пока ещё сложно.

Принимая во внимание необычные свойства, а так же рассмотренные ранее примеры фокусов можно сделать вывод, что фокусники чаще используют топологический объект - лента Мёбиуса. И теперь это вполне объяснимо.