Треугольники в календаре

Задача. Если в календаре 2019 года соединить числа 10, 20 и 30 января, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник.

Решение.

Для удобства решения задачи, используем календарь, в котором числа запишем на клетчатой бумаге.

Из построения чертежа очевидно, что треугольники с вершинами в числах 30 – 9 – 10 и 10 – 13 – 20 – прямоугольные, с прямыми углами в вершинах с числами 9 и 13 соответственно. Из чертежа ясно, что стороны 9 – 30 и 10 – 13 равны; аналогично равны стороны 9 – 10 и 13 – 20. Отсюда, треугольники 30 – 9 – 10 и 10 – 13 – 20 равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих их сторон 10 – 30 и 10 – 20.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180˚, получаем, что сумма острых углов в треугольнике с вершинами в числах 9 – 10 – 30 равна 90˚. Следовательно, сумма углов, дополняющих угол 10 до развернутого угла, равна сумме острых углов треугольника 9 – 10 – 30. Значит, угол 10 тоже равен 90˚. Итак, треугольник с вершинами в числах 10 – 20 – 30 является равнобедренным и прямоугольным.

Итак, данную задачу можно переформулировать в утверждение: в календаре 2019 года при соединении чисел 10, 20 и 30 января получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Вывод. Календари обладают следующей особенностью: если в календаре любого года соединить числа, соответствующие 10, 20 и 30 января, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник, за исключением случаев, где центры клеток с числами 10, 20 и 30 лежат на одной прямой.

Заметим, что в любом месяце можно выделить квадраты, состоящие из четырех чисел (2х2), из девяти чисел (3х3) и из шестнадцати чисел (4х4).

Аналогично, рассмотрим календарь за 2019 год, январь месяц.

Квадрат 2х2

Свойство 1. Сумма чисел на одной диагонали выделенного квадрата, равна сумме чисел на другой диагонали.

Пусть первое выделенное наименьшее число равно m, исходя из положения чисел в календаре, другие числа будут равны m + 1, m + 7 и m + 8.

Сумма одной диагонали квадрата: m + (m + 8) = 2m + 8.

Сумма другой диагонали: (m + 1) + (m + 7) = 2m + 8.

Таким образом, выражения равны, а числа на одной диагонали квадрата равны сумме чисел на другой диагонали.

Свойство 2. Чтобы найти сумму четырех чисел в выделенном квадрате достаточно удвоить сумму чисел одной диагонали.

Свойство очевидно из предыдущего доказательства.

Пример: 2(1 + 8) = 20.

Квадрат 3х3

Свойство 1. Чтобы найти сумму девяти чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо к меньшему числу прибавить 8 и сумму умножить на 9.

Пусть первое выделенное наименьшее число равно m, исходя из положения чисел в календаре, другие числа будут равны m + 1, m + 2, m + 7, m + 8, m + 9, m + 14, m + 15 и m + 16.

Складывая числа, получим 9m + 72 = 9(m + 8).

Значит, сумму чисел таких квадратов можно находить, если к меньшему числу прибавить 8 и сумму умножить на 9.

Пример: (1 + 8)9 = 81.

Свойство 2. Чтобы найти сумму девяти чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо из большего числа вычесть 8 и разность умножить на 9.

Пусть последнее выделенное наибольшее число равноа, исходя из положения чисел в календаре, другие числа будут равны, а – 1, а – 2, а – 7, а – 8, а – 9, а – 14, а – 15 и а – 16.

Складывая числа, получим: 9а – 72 = 9(а – 8). Значит, сумму чисел таких квадратов можно находить, если из большего числа вычесть 8 и разность умножить на 9.

Пример: (17 – 8)9 = 81.

Квадрат 4х4

Свойство 1. Чтобы найти сумму шестнадцати чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо из большего числа вычесть 12 и полученную разность умножить на 16.

Пусть последнее выделенное наибольшее число равноа, исходя из положения чисел в календаре, другие числа будут равны а – 1, а – 2, а – 3, а – 7, а – 8, а – 9, а – 10, а – 14, а – 15, а – 16, а – 17, а – 21, а – 22, а – 23 и а – 24.

Складывая числа, получим: 16а – 192 = 16(а – 12). Значит, сумму чисел таких квадратов можно находить, если из большего числа вычесть 12 и разность умножить на 16.

Пример: (25 – 12)16 = 208.