Математические фокусы и календарь

На принципе закономерностей, полученных в ходе исследования календаря, строятся несколько фокусов «быстрых вычислений».

1. Фокус-предсказание. В этом фокусе фокусник может показать свой дар прорицания и умеет производить в уме быстрое сложение нескольких чисел. Попросите зрителя обвести на настольном календаре в любом месяце любой квадрат из 16 чисел.

Бегло взглянув на него, вы записываете на листке предсказание, кладете его в конверт и отдаете на хранение зрителю. Затем просите зрителя выбрать любое число в этом календаре, обвести его кружком и вычеркнуть все числа, находящиеся в той же строчке и том же столбце, что и только что обведенное число.

В качестве второго числа зритель может обвести кружком любое число, оставшееся незачеркнутым. После этого он должен вычеркнуть третье число, а соответствующие строчка и столбец вычеркиваются.

В финале вы эффективно предлагаете достать из конверта листок и убедиться, что на нем заранее вами была написана именно эта сумма чисел.

Чтобы это сделать, вам нужно было сложить два числа, находящихся на двух диагонально противоположных углах квадрата и найденную сумму удвоить.

2. Фокус с нахождением суммы. В этом фокусе фокусник очень быстро может отгадать сумму чисел, входящих в обведенный квадрат на календаре. Для этого попросите зрителя обвести на настенном календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел. Бегло взглянув на него и производя в уме необходимые вычисления, называете сумму всех чисел, попавших в этот квадрат.

Чтобы это сделать, вам нужно было умножить сумму двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали, обведенного квадрата, на 8.

3. Вычисление вслепую. На этот раз вообще не смотрим на календарь. Попросите зрителя выбрать на настенном календаре любой месяц и обвести на нем какой-нибудь квадрат, содержащий 9 чисел. Попросите назвать наименьшее из чисел, попавших в этот квадрат. Через пару мгновений называете сумму этих 9 чисел.

Чтобы это сделать, вам нужно прибавить к названному числу 8 и результат умножить на 9.

1. Может ли быть в одном месяце быть 5 понедельников и 5 четвергов? Обоснуйте ответ.

Если в месяце 31 день, и он начинается с понедельника, то в нём может быть 5 понедельников, 5 вторников и 5 сред, но остальных дней недели по четыре, так как 5+5+5+4+4+4+4=31. Ответ: не может.

2. В феврале 2004 года 5 воскресений, а всего – 29 дней. На какой день недели приходится 23 февраля 2004 года?

Если в феврале 29 дней и 5 воскресений, то первое воскресение будет 1 февраля. Отсюда 23 февраля – понедельник.

3. В некотором месяце три пятницы пришлись на чётные числа. Какой день недели был 15 числа этого месяца?

Три пятницы, выпадающие на чётные числа месяца, могут быть только 2, 16 и 30 числа. 15 числа был четверг.

4. Известно. Что 1 декабря приходится на среду. На какой день недели приходится 1 января следующего года?

Среда 1, 8, 15, 22, и 29 декабря, четверг 30, пятница 31. Ответ: суббота 1 января следующего года.

5. В некотором месяце три воскресенья пришлись на чётные числа. Какой день недели был 20 числа этого месяца?

Четные воскресенья 2, 16, 28. Значит 20 число этого месяца – четверг.

6. Какое наибольшее число воскресений может быть в году? 53 воскресенья.

7. Какое самое большое число месяцев с пятью воскресениями может быть в году?

5 месяцев. Обычный год при этом должен начинаться с воскресенья, а високосный – с субботы или воскресенья.

8. В каком-то году некоторое число ни в одном месяце не было воскресеньем. Какое это могло быть число?

31-е число и только одно. Например, в 2007 году ни одно воскресенье не было 31 числом.

9. В некотором месяце три субботы пришлись на четные числа. Какой день недели был 28-го числа этого месяца?

Пусть первая «четная» суббота пришлась на число, которое обозначим через х(х – четное число). Следующая четная суббота будет через две недели, т.е. (х+14) –го числа, а третья «четная» суббота – (х+28) –го числа. Но в месяце не более 31 дня, следовательно, х+28≤ 31. У этого неравенства одно чётное решение х=2. Тогда третья «четная» суббота была 30-го числа, а 28-го был четверг.

10. В некотором месяце три пятницы пришлись на четные числа. Какой день недели был 15 числа этого месяца?

11. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 20 числа этого месяца?

12. Докажите, что первый и последний день 2010 года – это один и тот же день недели.

2010 год не високосный 2. Обычный год содержит 365=52х7+1 дней, т.е. 52 полных недели плюс один день. Поэтому любой обычный год начинается и заканчивается на один и тот же день недели. Для 2010 года это будет пятница.

13. В некотором месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем суббот. Какой день недели был 5-го числа этого месяца? Мог ли этот месяц быть декабрем?

За 4 недели, с 1 по 28-е число, каждый день недели встречается ровно 4 раза, поэтому из условия следует, что 29-е – воскресенье, 30-е – понедельник, а 31-го числа в этом месяце нет. Следовательно, месяц, о котором идет речь, начался с воскресенья, а его 5-е число было четвергом. Данный месяц декабрём быть не мог: в декабре 31 день.

14. В некотором году три месяца подряд содержали всего по четыре воскресенья. Докажите, что один из этих месяцев – февраль.

Если февраль не входит в указанные «три месяца подряд», то сумма дней – 91 или 92. Но 91=7х13, 92=7х13+1, т. е в этом случае три месяца содержат 13 полных недель, значит, и каждый день недели, в том числе воскресенье, содержится 13 раз, и условие не выполняется.

Тем самым доказано, что один из трех месяцев должен быть февралём, причем в обычном году достаточно, чтобы из трёх месяцев был февралём, а в високосном – эти три месяца: февраль (29), март (31), апрель (30). К тому же необходимо, чтобы последний день третьего месяца был субботой.

15. У большинства Петиных одноклассников день рождения в 1995 году пришёлся на четверг. В 1996 году у большинства одноклассников он пришёлся на пятницу. А на какой день недели он приходился в 1997 году?

1995 и 1997 годы не високосные (по 365 дней), а 1996 – високосный (366 дней). При переходе от 1995 года к 1996 году любое число сместится на один день недели вперёд. Но при переходе от 1996-го високосного, смещение будет на два дня вперёд, т. е. день рождения, приходившийся на пятницу, сместится на воскресенье.

16. Один человек обнаружил в 1937 году, что в Х-м году ему было х лет, и сказал: «Если к числу моих лет прибавить порядковый номер месяца моего рождения, то получится квадрат дня моего рождения. Когда родился этот человек?

Если человек жил в 1937 году, то в 1849 году ему не могло быть 43 года: 1849=432. Следующая возможность – ему было 44 года в 1936 году: 1936=442. В силу заданных условий, 44+m=d2; 0<m<13. Единственным решением будет m=5, d=7. Таким образом, человек родился 7 мая 1892 года.

17. Возраст некоего человека в 1989 году был равен сумме цифр года его рождения. В каком году родился этот человек и сколько ему было лет в 1989 году?

Пусть его возраст в 1989 году равнялся аb=10a+b. Год его рождения будет 19(8–а) (9–b). По условию имеем 10а+b=1+9+(8–a) +(9–a), 11а+2b=27. Так как 2b чётно, а 27 – нечётное, то 11а – нечётно, т. е ему 18 лет, а родился он в 1971 году.

18. Два не високосных года идут подряд. В первом из них понедельников больше, чем сред. Какой из семи дней недели чаще всего встречается во втором году.

Первый год содержит больше понедельников, значит, он начинается и им заканчивается; второй год начинается со вторника, значит им же заканчивается. Значит, вторников будет 53.

19. В феврале 2000 года 2 февраля было средой. Сколько вторников было в феврале 2000 года.

Если 2 февраля среда, то 1 февраля будет вторник. Вторник будет и 8, 15, 22, 29 февраля (2000 год високосный).

20. Иван Царевич сказал: «Когда послезавтра станет «вчера», тогда «сегодня» будет так же далеко от воскресенья, как и в тот день, когда послезавтра было завтра». В какой день недели — это сказано?

Ответ: воскресенье.

21. Владелец одной фирмы придумал интересную систему отпусков для сотрудников: сотрудники фирмы уходят в отпуск на целый месяц, если этот месяц начинается и кончается одним днём недели. Кому это выгодно? Сколько месяцев сотрудники будут отдыхать с 1 января 2005 года по 31 декабря 2015 года?

Для этого в месяце должно быть 29 дней. Это возможно только в феврале високосного года. В названный промежуток попадают только два года: 2008 и 2012. Так что сотрудникам придется отдыхать всего два месяца за эти годы.

22. Когда «послезавтра» станет «вчера», то «сегодня» будет так же далеко от воскресенья, как тот день, который был «сегодня», когда «вчера» было завтра. Как вы думаете, какой сегодня день недели?

Ответ: пятница.

23. Будем называть дату особенной, если она записывается цифрами без повторений. Например, такой датой будет 5.4.2013 года. А когда была предыдущая особенная дата?

Начнем с года, запись которого состоит из различных цифр. Годы 2012 – 1989 не удовлетворяют условию. 1987 год записан разными цифрами. Месяцы 12, 11, 10, 9, 8, 7 – не удовлетворяют условию, т.к. цифры, в записи которых они присутствуют, уже есть. Можно брать месяцы 6. 5, 4, 3, 2, но ближе к 1987 году будет 6 месяц. Число, очевидно 30. Дата 30.6.1987 «особенная» в записи ее цифры без повторений, и она предыдущая дате 5.4.2013.

24. В феврале 2012 года в зоопарке родился маленький кенгуру. Сегодня, 15 марта, ему исполняется 20 дней. В какой день он родился?

Ответ: 24 февраля.

25. Дата 1 марта 2005 года может быть записана тремя последовательными числами, расположенными в порядке возрастания: 01.03.05. Сколько всего дат с таким свойством (включая названную) будет в нынешнем веке?

Ответ: 5.

В ходе работы над проектом были выделены интересные особенности и закономерности календаря. Наиболее значимые из них были выделены в отдельные главы проекта. В ходе проектной работы было проведено несколько занимательных исследований, которые позволили разгадать некоторые математические фокусы, в которых можно использовать календарь.

Поэтому на основании проделанной работы и полученных результатов проекта, можно утверждать, что календарь можно использовать не только по прямому назначению, но и на уроках математики и во внеклассной работе.

Так, материалы исследований и закономерностей в календаре можно применять как нестандартные задачи на уроках геометрии при изучении темы «Прямоугольные треугольники», на уроках математики в теме «Сложение натуральных чисел», на уроках алгебры при изучении темы «Арифметическая прогрессия».

Многие сведения можно использовать во внеклассной работе, например, проведя «Вечер математических фокусов, связанных с календарем». Знания, приобретенные в ходе работы над проектом, пригодятся для успешного решения олимпиадных задач по математике.

Перейти к содержанию
Исследовательской работы "Математика в календаре"