Логарифмическая спираль
1. Основная часть.
Автоподобные фигуры – фигуры, части которых подобны целому.
Такие фигуры привлекают внимание ученых различных областей знания.
Так пропорциональность проявляется в подобном строении дерева и его ветвей, в формах кристаллов и снежинок.
Фрактальная геометрия – новое направление в геометрии.
Фрактал (fractus) в переводе с латинского языка – изломанный, дробный, и основным его свойством является автоподобность.
Я решила исследовать материал об автоподобных фигурах в математике.
1.1. Логарифмическая спираль
Золотая, иначе логарифмическая спираль является примером автоподобной фигуры.
Раковины многих моллюсков, галактики, циклоны закручиваются в форме золотой спирали.
Формула логарифмической спирали:
r=aϕ, где a – некоторое фиксированное положительное число, а ϕ – угол, измеряемый в радианах.
Геометрические свойства логарифмической спирали
① Каждый следующий виток спирали подобен предыдущему. Если угол увеличится на 2π, т. е. точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличится в a2π раз.
Последнее означает, что следующий виток подобен предыдущему и коэффициент подобия равен a2π. Используя это свойство, построив один виток, можно получить остальные подобием.
② В любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение. (Касательная к точке A – предельное положение секущей AA₁ при A₁, стремящейся к A)
