Обучающие программы и исследовательские работы учащихся
Помогаем учителям и учащимся в обучении, создании и грамотном оформлении исследовательской работы и проекта.

Наш баннер

Мы будем благодарны, если Вы установите наш баннер!
Баннер сайта Обучонок
Код баннера:
<a href="https://obuchonok.ru/" target="_blank"> <img src="https://obuchonok.ru/banners/banob2.gif" width="88" height="31" alt="Обучонок. Исследовательские работы и проекты учащихся"></a>
Все баннера...

Тематика: 
Математика
Автор работы: 
Пушкарёва Полина
Руководитель проекта: 
Рыбакова Инна Васильевна
Учреждение: 
МБОУ «Гимназия имени Подольских курсантов» г.о. Подольск
Класс: 
11

В индивидуальной исследовательской работе по математике на тему «Всемирное умножение» автором работы была проанализирована научная литература по алгебре и методам умножения рациональных чисел и исследована история распространения умножения по континентам, рассмотрены различные методы умножения.

Подробнее о работе:


В исследовательском проекте по математике на тему "Всемирное умножение" доказывается, что помимо стандартного метода умножения существует ещё ряд интересных работающих методов, некоторые из которых удобнее нам привычных. Материалы данного проекта по математике «Всемирное умножение» можно использовать в качестве дополнительного материала к урокам математике в 5-11 классах и при проведении внеурочной деятельности с классным руководителем.

Учебная работа по экологии "Всемирное умножение" в 9 классе школы рассматривает появление и распространение системы умножения по всему миру, а также учащейся проводится исследование особенностей системы умножения в разных странах. Автор проекта при проведении исследования постарался найти как можно больше различных методов умножения рациональных чисел и найти между ними определённую систему сходных черт, а также обосновать их эффективность и достоверность.

Оглавление

Введение
1. Первые ступени вычисления.
1.1. Китайский счёт.
1.2. Японский счёт.
1.3. Русский счёт.
2. Умножение.
2.1 История появления таблицы умножения
2.2 Таблица умножения на пальцах.
2.3 Интересные старинные способы умножения.
2.3.1 Умножение на 11.
2.3.2 Умножение на 12.
2.3.3 Умножение двузначного числа на 101,111.
2.3.4 Умножение числа на 5,25,125.
2.3.5. Умножение методом Ферроля.
2.3.6.Простое умножение чисел близких к 100.
3. Умножение сегодня.
3.1. Русский способ умножения.
3.2. Китайский способ умножения.
3.3.Итальянский способ умножения ("Сеткой").
3.4. Индийский способ умножения.
3.5. Японский способ умножения.
4. Анализ результатов опроса
Выводы
Заключение
Библиография
Приложение

Введение


В современных условиях обучения согласно новым стандартам ФГОС стоит уделить особое внимание на гибкость и оперативность арифметических навыков учащихся.

При проведении исследования мы постарались найти как можно больше различных методов умножения рациональных чисел и найти между ними определённую систему сходных черт, а также обосновать их эффективность и достоверность.

Нами учтены следующие факторы:

  • Удобство вычисления.
  • Скорость вычисления.
  • Простота понимания метода.
  • В результате проведенных исследований, нами были сделаны практические выводы.

Объект исследования: учащиеся 5-11 классов

Предмет исследования: скорость счёта при умножении рациональных чисел.

Цель исследования: опытным путём установить ряд самых простых, удобных и эффективных методов умножения чисел.

Задачи исследования:

  • Узнать из литературных источников об истории распространения умножения в мире
  • Изучить особенности систем умножения в разных странах
  • Освоить различные методики умножения.
  • В ходе эксперимента опытным путём определить самые приемлемые методы умножения для учащихся.
  • Оценить и проанализировать полученный результат.
  • Провести мастер – классы по знакомству с нетрадиционными способами;
  • Составить буклеты – памятки самых простых и интересных способов.

Гипотеза: Существуют другие способы умножения, которые легче и быстрее традиционного умножения столбиком, но они не популярны и не известны ученикам.

 Методы исследования:

  • Изучение и анализ соответствующей литературы
  • Эксперимент
  • Обобщение

Новизна исследовательской работы: исследование счётных навыков учащихся и выявление оптимальных методов умножения в условиях обучения по стандартам нового поколения ФГОС.

Практическая значимость работы: экспериментальным путем выявить оптимальный спосо умножения с точки зрения простоты его понимания, скорости, удобства и точности в условиях обучения по стандартам нового поколения ФГОС.

Первые ступени вычисления


Индейцы Таманаки пользуются при счете пальцами рук и ног. Вместо «один» они говорятъ «палец» и при этом обязательно протягивают палец; вместо «два» – «два пальца», «три» – «три пальца».

Пять у них зовется «рука», 6 – «палец на другой руке», 7 – «два пальца на другой руке», 10 – «две руки». Покончивший с руками, они перебираются к ногам, и так как обувь не закрывает их ног, то продолжают считать наглядно: 11 – «палец на ноге», 12 – «два пальца на ноге», 15 – «нога и две руки», 16 – «палец на другой ноге».

Но вот подходит дело к 20 ти, использованы, следовательно, и руки и ноги, тогда является на помощь «человек». 20 называется «человек», так как у него 20 пальцев; как же выразить, напр., 27? Это будет «2 пальца на другой руке другого человека».

Сотня заменяется у них пятью человеками, а выше сотни бедные индейцы едва ли и порываются считать, потому что у них нет для этого ни потребностей, ни развития. Кстати сказать, и эскимосы, обитатели холодных стран Северной Америки, вместо «20» говорят «человек» и вместо «100» пять человек.

Китайский счёт

Китайский метод счёта основан на количестве и символике пальцев. Используя этот метод, на двух руках можно посчитать до 20. Стоит заметить, что в некоторых провинциях жесты могут отличаться.

  • 0 — сложенный кулак; 1 — разжатый указательный палец;
  • 2 — разжаты и растопырены указательный и средний пальцы;
  • 3 — разжаты и растопырены указательный, средний и безымянный пальцы;
  • 4 — кроме прижатого к ладони большого пальца, остальные разжаты;
  • 5 — открытая ладонь и т.д.

Древнекитайская позиционная десятичная система счёта по двум рукам является наиболее сложной из существующих подобных.   

Японский счёт

В Японии счёт начинается с открытой ладони. Поджатый большой палец представляет число 1, мизинец является числом 5. Таким образом, пальцы, сложенные в кулак, указывает на число 5. Затем совершается обратное действие: число 6 обозначается разжатым мизинцем.

Возврат к открытой ладони означает число 10. Например, число 7 отображают указательный и средний палец.

Русский счёт

Русский счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой.

История появления таблицы умножений


Нельзя точно ответить кто именно положил начало арифметике. Но можно точно сказать, что умножать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения. В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами умножения - «предками» современных.

В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современному. Индийцы производили умножение чисел, начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях надо было заменять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении. Таким образом, математики Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме. Таблица в Индии включает в себя числа до 20-ти. Индийский прием умножения перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой.

В Европе продолжительное время произведение называли сумма умножения. Название «множитель» упоминается в работах VI века, а «множимое» - в XIII веке. В XVII веке некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком, а иные употребляли для этого точку. Только в конце XVIII века большинство математиков стали употреблять в качестве знака умножения точку, но допускали и употребление косого креста. Знаки умножения и знак равенства стали общепризнанными благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646 -1716).

Известно, что впервые таблица умножения была введена в школах в средневековой Англии. Выглядела она как система перемножения чисел до 12. В Англии до сих пор сохранился именно такой средневековый вариант по той причине, что в жизни англичан часто приходится умножать именно на 12: в измерительной системе 1 фунт равен 12 дюймам, а ранее в денежном обращении 1 шиллинг был равен 12 пенсам. Таким образом, мы видим, что таблица не во всех странах одинакова.

Интересно, что на Руси существовал крестьянский способ умножения, который заключался в том, что первый множитель увеличивается в два раза, а второй уменьшается тоже в два раза. И эта операция продолжалась до тех пор, пока второй множитель не становился равен одному. Строки, в которых правое число четно, удалялись, а сумма левых чисел и оставшихся строк давали нужный результат.

Пифагор и таблица умножения

Привычная для нас таблица умножения — это 8 столбцов с последовательными примерами на задней обложке тетради.Таблицу умножения также называют «Таблицей Пифагора», особенно когда она представлена в виде квадрата, стороны которого — множители, а в ячейках стоит их произведение. Именно так принято считать в европейской культуре. При этом существует очень интересный факт: не обнаружено ни одного письменного свидетельства тому, что именно Пифагору принадлежит авторство таблицы. Существуют только косвенные доказательства.

Последователь его учения — Никомах Герасский, который жил на рубеже I и II веков нашей эры, записал таблицу в привычном нам виде в своем сочинении «Введение в арифметику». Именно он утверждал, что авторство принадлежит древнегреческому ученому Пифагору.  Мнения ученых по поводу авторства таблицы умножения разделились. И многие считают, что Пифагор не может быть ее создателем, ведь существуют факты, подтверждающие другое ее происхождение.

Самая старая десятиричная таблица умножения найдена на раскопках древних китайских городов. Ученые датируют ее 305 г. до н.э., т.е. она существенно старше, чем сам Пифагор и его труды. При раскопках японского города Нара нашли дощечку с фрагментами записей, которые подтверждают, что в древней Японии вели подсчеты с помощью таблицы. Интересно то, что иероглифы похожи на древнекитайское письмо.

Это не единичный случай обнаружения подобных табличек археологами. Подобную дощечку нашли на раскопках еще одной японской столицы Хэйнан. Таким образом, ученые предполагают, что таблица умножения могла попасть из Китая в Японию, так как между двумя империями были очень прочные торговые отношения. По мнению ученых, таблица умножения, которую придумали в Китае, могла попасть в Индию вместе с торговыми караванами, а затем уже распространиться по Азии и Европе.

Но есть и еще одна версия, исходя из которой таблица была изобретена в Месопотамии. Эта теория тоже подтверждается находками археологов. Самая старейшая табличка была найдена на раскопках древнего Вавилона и имеет возраст около 4000 лет.

В 493 году появился новый вариант, предложенный ученым Викторием Аквитанским: он записал таблицу из 98 столбцов, которая представляла в римских числах результат перемножения чисел от 2 до 50.

В 1820-м году шотландский физик и профессор математики Джон Лесли в своей книге «Философия арифметики» опубликовал таблицу умножения до 99. Он же стал тем, кто начал давать своим ученикам рекомендации заучить ее.

В Россию современная таблица умножения попала благодаря математику Леонтию Филипповичу Магницкому, который в 1707 году издал первый учебник по математике под названием «Арифметика». В этом учебнике были таблицы сложения и умножения. Такое нововведение, как заучивание таблицы умножения было поистине революционным. Оно значительно облегчало повседневные расчеты, так как другие хитрые способы вычисления (запятая не нужна) приводили к тому, что увеличивалось количество ошибок и замедлялся процесс подсчета.

Таблица умножения на пальцах

При помощи пальцев можно умножать числа от 6 до 9. Этот способ издревле применялся купцами как вспомогательный при устном счёте. При умножении руки располагаются естественным образом, ладонями к себе. Пусть нам нужно умножить 7 и 8. На одной руке возьмем столько пальцев, на сколько 7 больше 5, т. е. 2 пальца, а на другой – столько, на сколько другой множитель больше 5, т. е. 3 пальца.

2 пальца на одной руке да 3 пальца на другой руке составят десятки. Получим 5 десятков. К этим трем десяткам прибавим произведение чисел загнутых пальцев. На одной руке 3 загнутых пальца, а на другой – 2. Их произведение – 6. К пяти десяткам прибавляем 6 единиц и получаем число 56, т. е. наш счет только подтвердил, что 7 умноженное на 8 равняется 56.   

Интересные старинные способы умножения


За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения. Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются. Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно. Итальянский математик 15 века Лука Пачоли приводит 8 способов умножения. А в книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения.

И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «по частям или в разрыв», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником», «кубком или чашей», «алмазом» и прочие, а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после продолжительной практики. 

Умножение на 11

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого равна 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

32х11= 3(3+2)2 = 352;

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

78х11= 7(7+8)8 = 7(15)8 = 858.

(см.приложение 3)

Умножение на 12

Чтобы умножить на 12 число, надо:

  • последнюю цифру множимого удваиваем и записываем как самую правую цифру результата;
  • каждую следующую цифру множимого удваиваем и складываем со своим правым соседом и записываем в результат (если ответ содержит больше одной цифры, то просто переносим 1 или 2 в следующий разряд);
  • первую цифру множимого ставим самой левой цифрой результата.

124 х 12 =1 4 8 8;

4 х 2 = 8; 2 х 2 + 4 = 8; 1 х 2 + 2 = 4

Умножение на 101 и 111

Умножение двузначного числа на 101. Чтобы умножить двузначное число на 101, надо рядом записать полное число два раза.

36 х 101 = 3636.

Умножение двузначного числа с суммой цифр, меньшей 10, на 111.

Находим сумму цифр данного двузначного числа (4 + 2 = 6). Раздвигая цифры множимого, дважды пишем между ними сумму цифр данного двузначного числа.

42 х 111 = 4662

Умножение на 5, 25, 125

Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и умножить на 10, 100, 1000.

Например:

1246 х 5 = 6230, так как 1246 : 2 = 623;

6428 х 25 = 160700, так как 6428 : 4 = 1607;

8032 х 125 = 1004000, так как 8032 : 8 = 1004

Умножение методом Ферроля

Для умножения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.

Например:

12х14=168

а)2х4=8, пишем 8 б)1х4+2х1=6, пишем 6 в)1х1=1, пишем 1

Простое умножение чисел близких к 100

Простое умножение чисел близких к 100.

Например, нам надо перемножить числа 96 и 97.

Не надо бросаться за калькулятором или начинать считать столбиком. Мы найдем вспомогательные числа. Их находим вычитанием доступного нам числа от 100. В нашем случая получается, что вспомогательные числа это 4 и 3.

Дальше можем забыть о данных на числах. Теперь найдем цифры стоящие в начале необходимого на числа: мы складываем 4 и 3, а затем получившееся число отнимаем от 100. Получается: 4+3=7, 100-7=93. Значит в начале нашего числа стоит цифра 93.

Затем найдем последние цифры необходимого нам числа: мы просто перемножаем 4 и 3. Получается 12 — это последние цифры нашего числа. У нас получилось число 9312. Значит 96*97=9312.

Умножение сегодня. Русский способ умножения

Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности.

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат (рисунок 1). Нетрудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Напрмер: 24х4=96

Правильность приёма станет ясна, если принять во внимание, что:

5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48

21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12

Ясно, что числа 48, 12, утрачиваемые при делении нечётного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение. Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно.

Китайский способ умножения


А теперь представим метод умножения, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Например: 22 × 42 = 924

В первом множителе 2 десяток и 2 единицы, значит, строим две прямые и ей параллельно ещё две прямые ниже с наклоном влево

Во втором множителе 4 десятка и 2 единица. Строим параллельно четыре прямые и две поодаль с наклоном вправо. Прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Теперь по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек на части разделим, как показано овалами, и приступим к подсчёту точек. Двигаемся справа налево 4, 12, 8. В искомом числе 4 единиц, 12 десятков (значит переносим один в сотни), 8 сотен плюс одна образованная из десятков – итого 9. Таким образом можем записать результат 924.

Итальянский способ умножения («Сеткой»)
В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.

Например: умножим 1234 на 576.

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

Т.е. 4х5 = 20. Записываем 2 и 0.

1х5*3 = 6. Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.

3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Индийский способ умножения

Для умножения, например, 385 на 64 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку как образец.

Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого. Полученные произведения пишем в сетку.

Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам.

Японский способ умножения

Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский. Даже чем-то на него похож.

Например: умножим 12 на 34. Так как второй множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2.

Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.

Количество частей, на которые разделились круги и является ответом, то есть 12 х 34 = 408.

Немецкий способ умножения

Самый известный и применяемый способ в Российском образовании придумал немецкий педагог-математик Адам Ризе. Чтобы перемножить два числа, записываем большее над меньшем. Затем начиная с единиц и двигаясь к высшим разрядам умножаем поочерёдно каждую цифру нижнего числа на верхнее. Если при умножении цифр получаем число большее десяти, добавляем единицу к следующему разряду.

Анализ результатов опроса

В социальных сетях нами был проведён опрос, содержащий следующие блоки вопросы:

Блок 1 общие вопросы:

1. Как вы используете умножение? (считаю в уме/использую калькулятор/произвожу расчёты на бумаге);

2. Как часто Вы сталкиваетесь с умножением?

Блок 2 «Особенности умножения в мире»

Отметьте с какими способама умножения вы знакомы, не знакомы и какие используете:

  • немецкий способ умножения столбиком;
  • крестьянский (русский) способ умножения;
  • китайский способ умножения;
  • индийский способ умножения (сеткой)

Простое умножение

Какие из следующих «лайфхаков» умножения вы используете/не используете:

  • умножения на пальцах (7,8,9);
  • упрощённое умножение на 11;
  • упрощённое умножение на 12;
  • упрощённое умножение на 101,111;
  • упрощённое умножение на 5,25,125;
  • упрощённое умножение чисел близких к 100;
  • умножение методом Фероля.

В опросе приняло участие 132 человека, в их числе учащиеся 5-11 классов, студенты высших учебных заведений.

По результатам опроса было выявлено, что для произведения операции умножения в практически равной степени часто используются как расчёты на буме, так и в уме, и при помощи калькулятора. 15% опрошенных считают, что применение умножение ограничивается рамками исключительно школьных уроков математики, 85% же осознают, что постоянно используют умножение в повседневной жизни.

Абсолютное большинство указало в опросе на использования немецкого способа умножения столбиком. Китайский и индийский способы умножения же оказались не популярны, лишь один респондент указал, что использует их. Если китайский способ был хотя бы известен почти половине опрошенных, индийский способ умножения не знаком 94% респондентам.

По результатам последнего блока опроса видно, что большинство не использует методы упрощённого умножения и предпочитает произвести умножение в данных случаях при помощи столбика.

Выводы

Опираясь на данные опроса и изученные материала, можно сделать вывод, что данная тема действительно актуальна для изучения, поскольку большинство респондентов опроса не знакома с представленными методами и способами умножения.  Методы упрощённого умножения действительно позволяют ускорить и упростить счётные операции.

Заключение


Выдвинутая нами гипотеза подтверждена. Существуют другие способы умножения, которые легче и быстрее традиционного умножения столбиком, но они не популярны и не известны ученикам.

Библиография

  1. Интернет ресурсы
  2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. - М., 1978.
  3. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.,1981.
  4. Депман И. «Рассказы о математике».– Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.
  5. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.
  6. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с.
  7. Савин А.П. Математические миниатюры. Занимательная математика для детей. - М.: Детская литература, 1998, 175 с.
  8. Интернет – источники
  9. Беллюстин В «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметик», 1940.

Приложение

1.Китайский счёт (1.1)

умножение 1

2. Умножение на пальцах (2.2)

умножение 2

3. Умножение на 11 (2.3.1)

умножение 3

4.Умножение на 12 (2.3.2)

умножение 4

5.Умноежение на 101,111 (2.3.3)

умножение 5

6. Умножение на 5, 25, 125 (2.3.4)

умножение 6

7. Умножение методом Фероля (2.3.5)

умножение 7

8.Простое умножение чисел близких к 100 (2.3.6)

умножение 8

9. Русский способ умножения. (3.1)

умножение 9

10. Китайский способ умножения (3.2)

умножение 10

11.Индийский способ умножения (3.4)

умножение 11

12.Немецкий способ умножения столбиком(3.4)

умножение 12

13.Результаты опроса

умножение 13

умножение 14


Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

Партнеры и статистика