Обучающие программы и исследовательские работы учащихся
Помогаем учителям и учащимся в обучении, создании и грамотном оформлении исследовательской работы и проекта.

Наш баннер

Мы будем благодарны, если Вы установите наш баннер!
Баннер сайта Обучонок
Код баннера:
<a href="https://obuchonok.ru/" target="_blank"> <img src="https://obuchonok.ru/banners/banob2.gif" width="88" height="31" alt="Обучонок. Исследовательские работы и проекты учащихся"></a>
Все баннера...

Тематика: 
Математика
Автор работы: 
Скала Анна Артемовна
Руководитель проекта: 
Стригалева Наталия Андреевна
Учреждение: 
МБОУ «Средняя школа № 27»
Класс: 
6

В рамках индивидуального исследовательского проекта по математике "Признаки делимости натуральных чисел" ученица 6 класса школы анализирует материал, представленный в учебных изданиях по математике и определяет, какие признаки делимости натуральных чисел, помимо представленных в школьной программе, еще существуют.

Подробнее о работе:


В своей исследовательской работе по математике на тему "Признаки делимости натуральных чисел" учащаяся 6 класса осуществляет сбор информации по теме исследования, дает определение понятия "признаки делимости", рассматривает наиболее распространенные признаки делимости натуральных чисел, а также выясняет, какие признаки делимости не изучаются в школе, и в чем заключается их основной принцип.

В учебном проекте по математике "Признаки делимости натуральных чисел" автор рассматривает признаки делимости суммы и разности чисел, признак делимости на 11, признак делимости на 7, а также на примерах демонстрирует применение признаков делимости чисел, объясняет способы решения задач по этой теме.

Оглавление

Введение                                          
1. Из истории признаков делимости.
2. Признаки делимости суммы и разности чисел.
3. Признак делимости на 11. 
4. Признак делимости на 7.
5. Применение признаков делимости чисел.
Заключение                                                                                     
Список литературы

Введение


Знать признаки делимости, конечно же, совсем не обязательно. Но если знаешь и умеешь этим пользоваться - это хорошо.

Признаки делимости дают только ответ на вопрос: делится ли нацело число на делимое или нет. Причем, это можно посчитать очень быстро, не производя деления. Например, при покупке в магазине довольно непростого набора товаров, таких как пакет молока стоимостью 93 рубля, пачки творога стоимостью 84 рублей, 6 пирожных и 3 килограммов сахара, когда кассир выбьет чек на 296 рублей, покупатель легко может проверить расчет и исправить ошибку.

Признаки делимости помогают решать сложные математические задачи олимпиадного характера.

Цель: дополнить свои знания о признаках делимости чисел.

Задачи:

  1. Выявить признаки делимости вне школьной программы.
  2. Самостоятельно доказать признаки делимости на 11 и на 7.
  3. Найти применение признаков делимости.

Из истории признаков делимости

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра.

В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Пример 1. Делится ли число 2814 на 7?

Найдём остатки при делении разрядных единиц: 10, 100, 1000 на 7.
6 – остаток от деления 1000 на 7,
2 - остаток от деления 100 на 7,
3 - остаток от деления 10 на 7.
2814 делится на 7, т. к. 2·6 + 8·2 +1·3 +4 = 35,   35:7=5 [1].

Признаки делимости суммы и разности чисел


В теории чисел существуют признаки делимости суммы и разности чисел [2].

Свойство 1.
Если каждое из чисел a и b делится нацело на число k, то и сумма a+b также делится нацело на число k.

Доказательство:
Так как a делится нацело на число k, то a=k*m1. Так как b делится нацело на число k, то b = k*m2. Подставим эти выражение в сумму a+b:
a + b = k*m1+ k*m2=k*(m1+m2). Это означает, что a+b делится нацело на k.

Свойство 2.
Если одно слагаемое делится на некоторое число и сумма делится на это же число, то другое слагаемое тоже делится на это число, т.е., если a делится на b и (a+c) делится на b, то c делится на b.

Доказательство:
Так как a нацело делится на b, то a=b*m1 и так как a+c нацело делится на b, то a+c=b*m2.
Тогда b*m1 + c = b*m1 + c, c=b*m2 - b*m1=b*(m2-m1). Таким образом, c делится на b.

Практическая часть

В рубрике учебника «Когда сделаны уроки» я узнала, что существует много различных признаков делимости. Признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 3, на 9 мы изучали на уроках, но я решила рассмотреть некоторые признаки дополнительно, такие как, на 11 и на 7 (см. Рис. 1).

делимость 1

Рис. 1 Круг изученных признаков делимости

Признак делимости на 11

Чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечётных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на чётных местах, делилась на 11 [2].

Доказательство

1. Доказательство необходимости:

Дано:

число a делиться на 11.

Доказать:
алгебраическая сумма цифр числа a, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечётных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на чётных местах, делится на 11.

Доказательство:
Представим число a, как сумму разрядных слагаемых:

a5a4a3a2a1 = 10000*a5 + 1000*a4+ 100*a3+ 10*a2+ 1*a1.

Разрядные числа 10000, 1000, 100 и 10 представим в виде суммы слагаемых, одно из которых делится на 11, и числа 1:

(9999+1)*a5 + (1001-1)*a4+ (99+1)*a3+ (11 – 1)*a2+ 1*a1.

Раскроем скобки и сгруппируем следующим образом слагаемые:

(9999*a5+1001*a4+99*a3+11*a2) + ((a5 + a3 + a1) - (a4 +a2)).
Так как число a и ее слагаемое (9999*a5+1001*a4+99*a3+11*a2) делится на 11, то и второе слагаемое ((a5 + a3 + a1) - (a4 +a2)) должно делиться на 11 (Свойство 2):

Таким образом, алгебраическая сумма цифр числа a, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечётных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на чётных местах, делится на 11.

2. Доказательство достаточности:

Дано:

алгебраическая сумма цифр числа a, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечётных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на чётных местах, делится на 11.

Доказать:

число a делиться на 11.

Доказательство:

Как было ранее описано число aможно представить в виде:

a5a4a3a2a1 = (9999*a5+1001*a4+99*a3+11*a2) + ((a5 + a3 + a1) - (a4 +a2)).

Так как в скобке (9999*a5+1001*a4+99*a3+11*a2) все слагаемые, а значит и вся сумма делится на 11, и скобка ((a5 + a3 + a1) - (a4 +a2)) делятся на 11 согласно дано, то и число a будет делиться на 11 (Свойство 1).

Признак делимости на 7


Чтобы число делилось на 7, необходимо и достаточно, чтобы сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа с чередующими знаками делилась на 7 [2].

Доказательство

3. Доказательство необходимости:

Дано:

число aделиться на 7.

Доказать:

сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа с чередующими знаками делится на 7.

Доказательство:

Представим число a, как сумму «граней», троек цифр начиная с конца:

а9а8а7а6a5a4a3a2a1 = 1000000*а9а8а7 + 1000*а6a5a4+ a3a2a1.
Разрядные числа 1000000, 1000 представим в виде суммы слагаемых, одно из которых делится на 7, и числа 1, тогда:

а9а8а7а6a5a4a3a2a1 = (999999 + 1)*а9а8а7 + (1001-1)*а6a5a4+ a3a2a1.
Раскроем скобки и сгруппируем следующим образом слагаемые:

а9а8а7а6a5a4a3a2a1 = (99999*а9а8а7+1001*а6a5a4) + (а9а8а7 - а6a5a4+ a3a2a1).
Так как число a и слагаемое (99999*а9а8а7+1001*а6a5a4) делятся на 7, то и другое слагаемое (а9а8а7 - а6a5a4+ a3a2a1) должно делиться на 7 (Свойство 2):

а9а8а7а6a5a4a3a2a1:7 = (99999* а9а8а7+1001* а6a5a4):7 + (а9а8а7 - а6a5a4+ a3a2a1):7.
Таким образом, сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа с чередующими знаками делится на 7.

4. Доказательство достаточности:

Дано:

сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа с чередующими знаками делится на 7.

Доказать:

число a делиться на 7.

Доказательство:

Как было ранее описано число a можно представить в виде:

а9а8а7а6a5a4a3a2a1 = (99999* а9а8а7+1001* а6a5a4) + (а9а8а7 - а6a5a4+ a3a2a1).
Так как в скобке (99999* а9а8а7+1001* а6a5a4) все слагаемые, а значит и вся сумма делится на 7, и скобка (а9а8а7 - а6a5a4+ a3a2a1) делится на 7 согласно дано, то и число a будет делиться на 7 (Свойство 1).

Применение признаков делимости

1. Признаки делимости помогают решать жизненные задачи.

Вернемся к задаче, рассмотренной во введении.

Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 93 рубля, пачку творога стоимостью 84 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 493 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?

Решение:

Стоимость приобретенных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (у молока и творога цена кратна 3-м, цена остальных товаров не известна, но их количество кратно 3-м). Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Вспоминаем признак делимости на 3: На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.

Число 493 (4+9+3=16) на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.

2. Признаки делимости помогают решать олимпиадные задачи.

Решим одну из них: Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее и наименьшее их таких чисел [3].

Рассмотрим поиск наибольшего числа.

На первые 5 позиций расставим по убыванию наибольшие цифры: 98765abcd.

Сумма цифр, стоящих на нечетных местах: 9 + 7 + 5 = 21.

Сумма цифр, стоящих на нечетных местах: 8 + 6 = 14. Разница: 21 – 14 = 7.

Остались неиспользованными 1, 2, 3, 4. Какие из них добавить к сумме цифр, стоящих на нечетных местах, а какие на четных местах, чтобы разница делилась на 11. Ясно, что это такие пары, разность сумм которых равна 4: (3 + 4) – (1 +2) = 4. Из условия наибольшего числа получим: 987652413.

Рассмотрим поиск минимального числа.

На первые пять позиций расставим по возрастанию наименьшие цифры: 10234abcd.

Сумма цифр, стоящих на нечетных местах: 1 + 2 + 4 = 7.

Сумма цифр, стоящих на нечетных местах: 0 + 3 = 3. Разница: 7 – 3 = 4.

Остались неиспользованными 5, 6, 7, 8. Разделив их на пары 5, 6 и 7, 8 и, получив суммы 11 и 15, добавляем 5 и 6 к цифрам, стоящим на нечетных местах, а 7 и 8 на четных местах, тем самым уравниваем суммы. Не забывая меньшую цифру ставить раньше большей, получим число 102347586.

Заключение

Познакомившись с новыми признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать на уроках математики, самостоятельно применять тот или иной признак к определенной задаче. Это мне позволит значительно ускорить решение многих заданий, а также применить изученные признаки в реальной жизненной ситуации.

Для написания данной работ были использованы ресурсы сети Интернет.


Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

Партнеры и статистика