Первые ступени вычисления

Пальцевый счёт, счёт на пальцах — математические вычисления, осуществляемые человеком с помощью сгибания, разгибания или указывания пальцев рук (иногда и ног). Пальцы рук считаются самым первым счётным инструментом древнего человека с эпохи верхнего палеолита.

Таким образом, пальцы для того человека, который едва умеет считать, являются неоцененным и удобнейшим пособием. Счёт на пальцах широко применялся в древнем мире и в средневековье. Наши предки умели производить при помощи пальцев некоторые действия.

В настоящее время используется ограниченно, арабскими и индийскими торговцами на Среднем Востоке, в европейских странах — в примитивном виде преимущественно детьми или для отображения цифр жестами, ради убедительности в споре по мере перечисления аргументов, а также судьёй в боксе при отсчете секунд во время нокдауна.

Китайский метод счёта основан на количестве и символике пальцев. Используя этот метод, на двух руках можно посчитать до 20. Стоит заметить, что в некоторых провинциях жесты могут отличаться.

• 0 — сложенный кулак; 1 — разжатый указательный палец;
• 2 — разжаты и растопырены указательный и средний пальцы;
• 3 — разжаты и растопырены указательный, средний и безымянный пальцы;
• 4 — кроме прижатого к ладони большого пальца, остальные разжаты;
• 5 — открытая ладонь и т.д.

Древнекитайская позиционная десятичная система счёта по двум рукам является наиболее сложной из существующих подобных.

В Японии счёт начинается с открытой ладони. Поджатый большой палец представляет число 1, мизинец является числом 5. Таким образом, пальцы, сложенные в кулак, указывает на число 5. Затем совершается обратное действие: число 6 обозначается разжатым мизинцем.

Возврат к открытой ладони означает число 10. Например, число 7 отображают указательный и средний палец.

Русский счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой.

А). При помощи пальцев можно умножать числа от 6 до 9. Этот способ издревле применялся купцами как вспомогательный при устном счёте. При умножении руки располагаются естественным образом, ладонями к себе. Пусть нам нужно умножить 7 и 8. На одной руке возьмем столько пальцев, на сколько 7 больше 5, т. е. 2 пальца, а на другой – столько, на сколько другой множитель больше 5, т. е. 3 пальца.

2 пальца на одной руке да 3 пальца на другой руке составят десятки. Получим 5 десятков. К этим трем десяткам прибавим произведение чисел загнутых пальцев. На одной руке 3 загнутых пальца, а на другой – 2. Их произведение – 6. К пяти десяткам прибавляем 6 единиц и получаем число 56, т. е. наш счет только подтвердил, что 7 умноженное на 8 равняется 56.

Б) Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 ... 9·10

- легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится "на пальцах". Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип "вычисления".

Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве "счетной машинки" не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.

Математики тоже бывают с богатой фантазией. Когда им скучно умножать и делить в столбик, как нас всех учат в школе, они придумывают более необычные способы математических вычислений. Кому-то они могут показаться интересными и подходящими, кому-то – сложными и неприемлемыми.

Способов умножения и деления много, Итальянский математик 15 века Лука Пачоли приводит 8 способов умножения, причем это ещё не все. А мы просто предлагаем вашему вниманию некоторые из них.

А) Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого равна 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

32х11= 3(3+2)2 = 352;

35х11= 3(3+5)5 = 385;

Б) Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

78х11= 7(7+8)8 = 7(15)8 = 858; 94х11= 9(9+4)4 = 9(13)4 =1034;

Чтобы умножить на 12 число, надо:

1. последнюю цифру множимого удваиваем и записываем как самую правую цифру результата;
2. каждую следующую цифру множимого удваиваем и складываем со своим правым соседом и записываем в результат (если ответ содержит больше одной цифры, то просто переносим 1 или 2 в следующий разряд);
3. первую цифру множимого ставим самой левой цифрой результата.

124 х 12 =1 4 8 8;

4 х 2 = 8; 2 х 2 + 4 = 8; 1 х 2 + 2 = 4

а) Умножение двузначного числа на 101. Чтобы умножить двузначное число на 101, надо рядом записать полное число два раза.

36 х 101 = 3636.

Б)Умножение двузначного числа с суммой цифр, меньшей 10, на 111.

Находим сумму цифр данного двузначного числа (4 + 2 = 6). Раздвигая цифры множимого, дважды пишем между ними сумму цифр данного двузначного числа.

42 х 111 = 4662

Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и умножить на 10, 100, 1000.

Например:

1246 х 5 = 6230, так как 1246 : 2 = 623;

6428 х 25 = 160700, так как 6428 : 4 = 1607;

8032 х 125 = 1004000, так как 8032 : 8 = 1004.

Умножение методом Ферроля.

Для умножения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.

Например:

12х14=168

а)2х4=8, пишем 8
б)1х4+2х1=6, пишем 6
в)1х1=1, пишем 1

Простое умножение чисел близких к 100.

Например, нам надо перемножить числа 96 и 97.

Не надо бросаться за калькулятором или начинать считать столбиком. Мы найдем вспомогательные числа. Их находим вычитанием доступного нам числа от 100. В нашем случая получается, что вспомогательные числа это 4 и 3.

Дальше можем забыть о данных на числах. Теперь найдем цифры стоящие в начале необходимого на числа: мы складываем 4 и 3, а затем получившееся число отнимаем от 100. Получается: 4+3=7, 100-7=93. Значит в начале нашего числа стоит цифра 93.

Затем найдем последние цифры необходимого нам числа: мы просто перемножаем 4 и 3. Получается 12 — это последние цифры нашего числа. У нас получилось число 9312. Значит 96*97=9312.