ГЛАВА 2. Графический метод решений

2.1. Графический метод решения уравнений с параметром

При графическом решении уравнений с параметром необходимо:

1) Найти область определения уравнения, то есть область допустимых значений неизвестного и параметра, при которых уравнение может иметь решение;

2) Выразить параметр а как функцию от х: а = f(х);

3) В системе координат построить график функции а= f(х) для тех значений х, которые входят в область определения;

4) Определить точки пересечения прямой а = с с графиком функции а = f(х).

Возможны ситуации:

а) прямая а = с не пересекает график а = f(х). Уравнение решений не имеет;

b) прямая а=с пересекает график а = f(х) в одной или нескольких точках. Определяем абсциссы точек пересечения, решая уравнение а = f(х) относительно х.

Задание 1

Решить уравнение х² ‒ (2х ‒ 1) = а

Решение:

1) Область определения уравнения: х є R, а є R.

2) Если х >1/2, то а = х² ‒ 2х +1 или а = (х ‒ 1)²

Если х < 1/2, то а = х² + 2х ‒ 1 или а = (х + 1)² ‒ 2

3) В системе координат строим графики функций а = (х ‒ 1)², при х > 1/2 и а = (х +1)² ‒ 2, при х < 1/2

4) Выводы. При с < ‒2 прямая а = с не пересекает графика функции х² ‒ (2х ‒ 1) = а

При с = ‒2 одно пересечение в точке с абсциссой х= ‒1.

Если ‒2 < с < 0, то прямая пересекает параболу а = х² + 2х ‒ 1 в двух точках

х1,2 = ‒ 1 ± √а + 2

Если с = 0, то имеет три точки пересечения х1,2 = ‒1 ±√2, х3 = 1

При 0 < с < ¼ прямая а = с пересекает график заданной функции в четырех точках х1,2 = ‒1 ±√а + 2 и х3,4 = 1 ±√а.

При с = ¼ имеет х1 = 1 ‒ √а + 2, х2 = ½, х3 = 1 + √а

При с > ¼ имеет х1 = ‒1 ‒√а + 2, х2 = 1 + √а

Задание 2

При каких значениях параметра a уравнение ((х ‒ 4) ‒3) + 2а = 0 имеет три решения. Найти эти решения.

Решение:

Преобразуем уравнение к виду: ((х ‒ 4) ‒ 3)= ‒2а;

Сначала строим график ((х ‒ 4) ‒3), полученный из графика y = (х)

(Рис. 7).

Перемещаем вдоль оси Ох на 4 единицы, вдоль оси Оy на (‒3) единицы и зеркальным отображением отрицательной части графика относительно оси Ох, так как у > 0 по свойству модуля.

Далее график y = ‒2а (Рис. 7) ‒ прямую линию, параллельною оси Ох перемещаем вдоль оси Оу до тех пор, когда она пересечёт первый график в трёх точках.

Получим ‒ 2а = 3, а = ‒1,5.

Ответ: при а = ‒1,5 уравнение имеет три решения: х1 = ‒ 2а; х2 = 4;

х3 = 10.

Задание 3

При каких значениях параметра a уравнение (х² ‒ 8 ‧ (х) +15) = а имеет ровно 6 корней.

Решение:

Построим график функции у = ( х² ‒ 8 ‧ (х) +15) (Рис. 8).

График функции у=а представляет собой множество прямых, параллельных оси абсцисс. Он будет пересекать график функции

у = (х² ‒ 8 ‧ (х) + 15) в 6 точках при а = 1, а значит, исходное уравнение имеет 6 корней при а = 1.

2.2. Графический метод решения уравнений

Прямоугольная система координат используется при графическом методе решения уравнений. Графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, грубо указать отрезки на числовой оси, где они могут находиться.

Графический метод заключается в следующем. Рассматривается уравнение с одним неизвестным f1 (х) = f2 (х). Строятся графики функций у1 = f1(х) и у2 = f2(х) (Рис. 9).

Точки пересечения графиков этих функций соответствует тем значениям аргумента х, при которых совпадают значения функций, то есть решениям (корням) уравнения.

Задание 1

Найти число корней уравнения √х = (х ‒ 1)² и указать отрезки на числовой оси, где они могут находиться.

Решение:

Построим графики функций у =√х и у = (х ‒ 1)² (Рис. 10).

Из рисунка видно, что уравнение имеет два корня, один из которых находится в интервале (0; 1), а другой ‒ в интервале (2; 3).

Задание 2

Сколько решений имеет уравнение x²/cosx - 10 = 0

Решение:

Перепишем уравнение в виде x²/10 = cos х.

Построим графики функций у = x²/10 и у = cos х (Рис. 11).

Из рисунка видно, что уравнение имеет два решения.

2.3. Графический метод решения неравенств

Для успешного решения задач повышенной сложности важно уметь строить не только графики функций, но и множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют заданным неравенствам и их системам. Эффективно строить на координатной плоскости такие множества позволяет метод областей.

Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f (х, у) > 0. Если мы рассмотрим уравнение f (х, у) = 0, то можно построить его геометрическое изображение. Это будет кривая, которая разбивает плоскость на две или несколько областей. В каждой из этих областей функция сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых f (х, у) >0. Многие практические задачи сводятся к системам двух или нескольких линейных неравенств с двумя неизвестными х и у. Система линейных неравенств может иметь бесконечное множество решений, может иметь только одно решение, может не иметь решений.

Задание 1

Сколько решений имеет система неравенств:
x+y>4
x-y<0
x-3y>-9

Решение:

Изобразим в прямоугольной системе координат решение каждого неравенства системы (Рис. 12).

Из рисунка видно, что данная система имеет бесконечное множество решений - внутренность треугольника.

Задание 2

Сколько решений имеет система неравенств:
x+y>=0
x+3y<=6
x-y<=-6

Решение:

Изобразим в прямоугольной системе координат решение каждого неравенства системы (Рис. 13).

Из рисунка видно, что данная система имеет только одно решение (‒3; 3).

Задание 3

Решить графически систему неравенств:
-2/3x+2<0
x²-1>0

Решение:

Сначала построим графики функций у = -2/3х + 2 и у = х² ‒ 1
(Рис. 14).

Решением первого неравенства является интервал х >3, обозначенный черной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов: х < ‒1 и х > 1, обозначенных серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал х > 3.

Это и есть решение заданной системы неравенств.

2.4 Построение фигуры в системе координат с помощью отрезков графиков линейных функций

Так как все функции линейны, то их графики имеют вид отрезков прямых и следовательно, однозначно определяются концевыми точками. Получаем рисунок (Рис. 15).

Можно построить рисунок по координатам. Получаем рисунок утёнка (Рис. 16).