2.5 Применение прямоугольных систем координат в геометрии

В элементарной геометрии координаты - величины, определяющие положение точки на плоскости в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая - абсциссой.

В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы. Обычно Декартовая система координат используется для решения уравнения плоскости, уравнения прямых и площадей с известными значениями двух или трёх координат.

Система координат используется при доказательстве теорем:

Теорема:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство:

Пусть в треугольнике АВС (Рис. 17), ВС=а, СА=b и S ‒ площадь этого треугольника. Докажем, что S =1/2 ab sinC.

Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S=1/2ah, где h - высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h=b sinC. Следовательно S = 1/2 ab sinC.

Теорема доказана.

Теорема:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство:

Пусть в треугольнике АВС АВ=с, ВС=a, СА=b (Рис. 18). Докажем, например, что а²=b²+c²‒2bc cosA.

Введём систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке. Тогда точка В имеет координаты (с;0), а точка С имеет координаты (b cosA; b sinA). По формуле расстояния между двумя точками получаем.

ВС²=а²=(b cosA‒c)²+b² sin²A=b² cos²A+b² sin²A‒2bc cosA+c²=b²+c²‒2bc cosA.

Теорема доказана.

Теорему косинусов называют иногда обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos A= cos 90° = 0 и по формуле (1) получаем a² = b² + c², т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Введение системы координат даёт возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств, и тем самым использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению геометрических фигур называется методом координат.

Воспользуемся методом координат для доказательства теоремы Стюарта, названной так по имени шотландского астронома и математика Мэтью Стюарта (1717‒1785), сформулировавшего её в 1746 году. Предполагают впрочем, что эта теорема была известна намного раньше и была открыта Архимедом ещё в III в. до н.э.

Теорема:

Если точка D (Рис. 19), лежит на прямой ВС, то для любой точки А имеет место равенство:

АС² ‧D + AB² ‧C ‒ AD² ‧C =CB‧CD‧D.

Доказательство:

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на оси Сх (Рис. 19). Тогда точка С имеет координаты (0;0), а точки B, D и A ‒ координаты (b;0), (d;0) и (х;y), где b, d, x, y ‒ некоторые числа. По формулам (4) и (1) имеем:

AC² = x² + y²; AB² = (x ‒ b)² + y²; AD² = (x ‒ d)² + y²; D = b ‒ d; C = d; C = b,

следовательно,

АС² ‧D + AB² ‧C ‒ AD² ‧C = (x² + y²)(b ‒ d) + ((x ‒ b)² + y²)d ‒ ((x ‒ d)² + y²)b = bd(b ‒ d).

Но произведение CB‧CD‧D так же равно bd(b ‒ d).

Теорема доказана.

Задача 1

В прямоугольнике АВСD точка К делит диагональ ВD в отношение 2:1, считая от вершины В. Точка Е ‒ середина стороны СD. Используя метод координат, докажите, что точка К принадлежит отрезку АЕ и делит его в отношении 1:2 (Рис. 20).

Решение:

Пусть АD = а, АВ = b. Введем систему координат, как показано на

(Рис. 20). Можно доказать, пользуясь признаками подобия треугольников, что К (2/3а; 1/3b). Очевидно также, что Е (а; b/2), АК (2/3а; 1/3), АЕ (а; b/2). Следовательно, АК = 1,5АЕ. Значит, точка К принадлежит отрезку АЕ и делит его в отношении 1:2.

Задача 2

В ромбе МТHD точка К принадлежит диагонали ТD. ТК:КD = 2:1. Точка Е делит отрезок НD пополам. Используя метод координат, докажите, что точка К принадлежит отрезку МЕ и делит его в отношении 2:1 (Рис. 21).

Решение.

Пусть О ‒ точка пересечения диагоналей ромба. Примем ОН = а, ОD = b и введем систему координат, как показано на (Рис. 21). Тогда Н(а; 0), М(‒а; 0), К(0; B/3), D(0; b), Е(а/2; b/2), МК(а; b/3), МЕ(3а/2; b/2). Значит, МЕ=3/2МК, т.е. точка К принадлежит отрезку МЕ и делит его в отношении 2:1.

Задача 3

Напишите уравнение прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которых равны 10см и 4см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат (Рис. 22).

Решение:

Так как диагонали лежат на осях координат, то вершиной ромба ABCD имеют координаты:

а) А(‒2; 0); В(0; 5); С(2; 0); D(0; ‒5).

b) А1(‒5; 0); В1 (0; 2); С1 (5; 0); D1 (0; ‒2).

Рассмотрим случай (а) Напишем уравнение прямой АВ:

А(‒2;0), ‒2а+0b+с=0, а =0,5с.

В(0;5), 0а+5b+с=0, b = ‒0,2с; 5х‒2у+10=0.

Напишем уравнение прямой ВС:

В(0;5), 0а+5b+с=0, b = ‒0,2с.

С(2;0), 2а+0b+с=0, а = ‒0,5с; 5х+2у‒10=0 .

Напишем уравнение прямой СD:

С(2;0), 2а+0b+с=0, а = -0,5с;

D(0;-5), 0а‒5b+с=0, b = 0,2с; 5х‒2у‒10=0.

Напишем уравнение прямой АD:

А(‒2;0), ‒2а+0b+с=0, а = 0,5с;

D(0;‒5), 0а‒5b+с=0, b = 0,2с; 5х+2у+10=0.

Случай (b) решается аналогично:

Получаем прямые: 2х‒5у+10=0; 2х+5у‒10=0; 2х‒5у‒10=0; 2х+5у+10=0.

Проведя анализ литературы, интернет ресурсов, я изучила историю возникновения координат. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит великому французскому математику Рене Декарту (1596‒1650). В его честь такая система координат называется декартовой.

Но Рене Декарт был не только математиком. Он внёс большой вклад и в развитие физики, философии.

Пересмотрев справочную литературу, проведя опрос представителей различных профессий, я узнала, что системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Это и математика и информатика и биология и медицина, а так же – экономика, химия, инженерная графика, география. А это означает, что усвоив школьную программу о координатной плоскости, я в будущем смогу выбрать и успешно овладеть одной из перечисленных профессий

Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач.

В данной проектной работе:

1. проанализирован школьный учебник относительно темы «Метод координат»;
2. описан сам метод координат, виды и этапы решения задач методом координат.
3. выделены основные умения, необходимые для овладения данным методом и приведен ряд задач, формирующих их.
4. показала построение в системе координат с помощью отрезков, после чего получаем рисунки с указанными координатами точек в прямоугольной системе координат, которые могут применяться как на уроках математики в 5, 6 классах, так и на дополнительных занятиях.
5. также увидели применение прямоугольных систем координат в геометрии, повторили теоремы и применили систему координат для решения конкретных геометрических задач.

Я предполагаю, что в своем проекте подтвердила гипотезу о том, что изучение метода координат в школьном курсе геометрии необходимо.

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Геометрия 7‒9кл., учебник для общеобразовательных учреждений, 13-е изд. ‒ М.; Просвещение, 2003.

2. Альхова З.Н., Макеева А.В., Внеклассная работа по математике ‒ Саратов; Лицей, 2003. -288с.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Планиметрия. Пособие для углублённого изучения математики. ‒ М.; ФИЗМАТЛИТ, 2005. -488с.

4. Математика, еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», №12, №13. 2001.

5. Фарков А.В., Внеклассная работа по математике, 5-11 классы, ‒ 2-е изд,. ‒ М.; Айрис-пресс, 2007. -284с.

Ссылки на интернет-ресурс:

1. Проектная работа "Координаты вокруг нас" : автор Чубукина Ольга-Режим доступа.

2. Яндекс картинки (электронный ресурс) (построить картинки по координатам).

Перейти к содержанию
проекта "Применение прямоугольной системы координат при решении задач"