Публикация материалов

Темы исследований

Наш баннер

Мы будем благодарны, если Вы установите наш баннер!
Баннер сайта Обучонок
Код баннера:
<a href="https://obuchonok.ru/" target="_blank"> <img src="https://obuchonok.ru/banners/banob2.gif" width="88" height="31" alt="Обучонок. Исследовательские работы и проекты учащихся"></a>
Все баннеры...

ГЛАВА 1. Применение прямоугольной системы координат

1.1 История создания прямоугольной системы координат


Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также - Декартова система координат.

Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил

Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

1.2 Координаты вокруг нас

Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. В нашей речи вы не раз могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты». Что означает это выражение? Догадались?! Собеседник просит записать свой адрес или номер телефона. У каждого человека бывают ситуации, когда необходимо определить местонахождение: по билету найдите место в зрительном зале или в вагоне поезда. Координаты окружают нас повсюду:

  • чтобы правильно занять свое место в кинотеатре нужно знать две координаты - ряд и место.
  • система географических координат (широта ‒ параллели и долгота ‒ меридианы)
  • те, кто в детстве играл в морской бой, тоже помнят, что каждая клетка на игровом поле определялась двумя координатами ‒ буквой и цифрой
  • с помощью координатной сетки летчики, моряки определяют местоположение объектов
  • в биологии ‒ построение схем молекул ДНК, построение диаграмм и графиков, прослеживающих эволюцию развития
  • в экономике ‒ разнообразные системы координат применяются для построение графика спроса и предложения, при графическом изображении разных зависимых величин.
  • в химии – построение таблицы Менделеева (изменение показателей происходит в горизонтальной и вертикальной плоскости) ‒ взаимное расположение молекул.

1.3 Прямоугольная система координат на плоскости


Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат Х'Х и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке О, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей.

Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси Х'Х против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y'Y. Четыре угла (I, II, III, IV) образованные осями координат Х'Х и Y'Y, называются координатными углами (Рис. 2).

Положение точки А на плоскости определяется двумя координатами х и y. Координата х равна длине отрезка ОВ, координата у -длине отрезка ОС в выбранных единицах измерения. Отрезки ОВ и ОС определяются линиями проведенными из точки А параллельно осям Y'Y и Х'Х соответственно. Координата х называется абсциссой точки А, координата у ‒ ординатой точки А. Записывают так: А(а.b).

Если точка А лежит в координатном угле I, то точка А имеет положительную абсциссу и ординату. Если точка А лежит в координатном угле II, то точка А имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка А лежит в координатном угле III, то точка А имеет отрицательную абсциссу и ординату. Если точка А лежит в координатном угле IV, то точка А имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Координатные углы

Рис. 2 ‒ Координатные углы

1.4 Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат ОХ, ОY и ОZ. Оси координат пересекаются в точке О, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей.

OX ‒ ось абсцисс, OY ‒ ось ординат, OZ ‒ ось аппликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси ОХ против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси ОZ. Такая система координат называется правой.

Если большой палец правой руки принять за направление Х, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (Рис. 3).

Положение точки А в пространстве определяется тремя координатами х, у и z. Координата х равна длине отрезка ОВ, координата у ‒ длине отрезка ОС, координата z ‒ длине отрезка OD в выбранных единицах измерения.

Отрезки ОВ, ОС и OD определяются плоскостями , проведенными из точки А параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата х называется абсциссой точки А, координата у ‒ ординатой точки А, координата z ‒ аппликатой точки А. Записывают так: А (а, b, c).

Прямоугольная система координат в пространстве

Рис. 3 ‒ Прямоугольная система координат в пространстве

1.5 Построение графиков функций в прямоугольной системе координат


В курсе алгебры изучаются различные функции. Например, линейная функция, квадратичная функция, степенная функция, тригонометрические функции, показательная функция, логарифмическая функция. Для построения графиков данных функций используется табличный способ задания функций, а затем по данным координатам строятся графики функций в прямоугольной системе координат (Рис. 4).

Построение графиков функций в прямоугольной системе координат

Построение графиков функций в прямоугольной системе

Построение графиков функций в прямоугольной системе

Рис. 4 ‒ Построение графиков функций в прямоугольной системе координат

В прямоугольной системе координат строятся графики функций, которые содержат выражения под знаком модуля.

Задание 1

Постройте график функции: у = (х ‒ 1) ‒ (2 ‒ х) + 2 (Рис. 5).

график функции

Рис. 5 ‒ график функции: у = (х ‒ 1) ‒ (2 ‒ х) + 2

Решение:

х = 1; х = 2

1) х < 1
у = ‒ х + 1 ‒ 2 + х +2
у = 1

2) 1 < х < 2
у = х ‒ 1 ‒ 2 + х + 2
у = 2х ‒1
х =1; у =1
х = 2; у = 3

3) х > 2
у = х ‒ 1 +2 ‒ х + 2
у = 3

Задание 2

Постройте график функции: у = (х ‒ 1) + (x ‒ 2) + x (Рис. 6).

график функции

Рис. 6 ‒ график функции: у = (х ‒ 1) + (x ‒ 2) + x

Решение:

х = 1; х = 2

1) х < 1
у = ‒ х + 1 ‒ х + 2 + х
у = ‒ х + 3
х = 0; у =3
х = ‒ 1; у = 4

2) 1 < х < 2
у = х ‒ 1 ‒ х + 2 + х
у = х + 1
х = 1; у = 2
х = 2; у = 3

3) х > 2
у = х ‒ 1 + х ‒ 2 + х
у = 3х ‒ 3
х = 3; у = 6
х = 4; у = 9

Перейти к главе 2: Графический метод решений

Партнеры и статистика