В индивидуальной исследовательской работе по математике на тему «Математические кривые» автором работы было дано определение математических кривых, определение математических спиралей и роз, рассмотрены разные виды математических спиралей и роз, уравнения и способы их решения.

Подробнее о работе:

Актуальность исследовательского проекта по математике на тему "Математические кривые" заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. Люди различают окружающие их вещи по форме. Интерес к форме предмета может быть вызван какой-либо потребностью у человека, а может и красотой самой формы. В индивидуальном проекте изучен вопрос применения кривых - математических роз и спиралей в природе и жизни человека.

Оглавление

Введение
1. Понятие математических кривых.
1.1. Определение математических кривых.
1.2. Определение математических спиралей.
1.3. Определение математических роз.
2. Практическое применение математических кривых.
2.1. Виды и уравнения математических спиралей.
2.2. Исследование роли математических спиралей в жизни человека.
2.3. Виды и уравнения математических роз.
2.4. Исследование применения математических роз в природе и жизни человека.
2.5. Построение математических роз и спиралей в классе.
Заключение
Литература

Актуальность темы заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. Люди различают окружающие их вещи по форме. Интерес к форме предмета может быть вызван какой-либо потребностью у человека, а может и красотой самой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии у человека.

Цель исследования: Анализ видов роз и спиралей, известных в математике, а так же рассмотрение объектов, с которыми человек встречается ежедневно и использует в своей деятельности.

Задачи:

1. Изучение литературы;
2. Анализ интернет - ресурсов, посвященных розам и спиральным кривым в математике;
3. Рассмотрение объектов, имеющих вид роз и спиралей, которые встречаются в жизни человека.
4. Построение математических роз и спиралей в классе.

Объект исследования: математические кривые - розы и спирали.

Предмет исследования: Применение математических роз и спиралей в жизни людей.

Используемые методы:

Общенаучные методы

• анализ научной литературы;
• синтез;
• классификация;
• исследование и обобщение.

Эмпирическое исследование

Объяснительное эмпирическое исследование. Данное исследование включает в себя не только сбор и анализ, но и объяснение полученных фактов, а так же содержит выявление причин и причинно-следственных зависимостей между фактами, при котором неизвестное объясняется через известное.

Гипотеза: математические кривые – розы и спирали проявляютсявезде, на них основана жизнь. Розы и спирали присутствуют в каждом аспекте нашей жизни.

Прямая и окружность - две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные по своим свойствам кривые. Любой человек знаком с прямой и окружностью больше, чем с другими кривыми, но при этом ему не полностью хорошо известны важнейшие свойства прямой и окружности. Именно из этих двух понятий и математических кривых, при довольно интересном и легком взаимодействии, образуются такие интересные кривые, как спирали и розы.

Математические спирали - плоские кривые, которые обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от нее/них.

Математические розы – плоские кривые, напоминающие символическое изображение цветка.

Архимедова спираль – кривая, задаваемая уравнением r=aφ, где a – некоторое фиксированное число.

Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между соседними витками. Каждое из них равно 2πa. Действительно, если угол φ увеличивается на 2π, т.е. точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличивается на 2π, что и составляет расстояние между соседними витками.

Циклоида – кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящаяся без скольжения по прямой линии.

Спираль Ферма - спираль, задаваемая на плоскости в полярных координатах уравнением r^2=a^2 φ, является видом Архимедовой спирали.

Логарифмическая спираль (изогональная)

Данная спираль получила такое название из-за того, что логарифм расстояния (log_α⁡r) возрастает пропорционально углу поворота. Описывается она уравнением r=α^φ, где r – расстояние от точки, вокруг которой закручивается спираль (ее называют полюсом), до произвольной точки на спирали, φ – угол поворота, относительно полюса, постоянная.

Золотая спираль – логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ^4, где φ - золотое сечение. Коэффициент роста показывает, во сколько раз изменился полярный радиус спирали при повороте на угол 360.

Уравнение для золотой спирали в полярной системе координат имеет такой вид: r= αφ^(±2θ/π), где a – произвольная положительная вещественная константа,

А φ=(√5+1)/2 – золотое сечение.

Спираль «Жезл» - плоская кривая, определяемая уравнением ρ=α/(√φ), где α – некоторая постоянная константа. Представляет собой частный случай архимедовой спирали ρ=αφ^(1/n).

Спираль Корню (Клотоида) - кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги. 1/R~L↔R∙L=const

Математические кривые широко распространены, их применяют в производстве, строительстве, военном деле и т.д. Они поистине замечательны своими свойствами.

Изначально поражает необычайное разнообразие значений символа спирали. Он воспринимается, как ход и бег времени (циклические ритмы, смена солнечных и лунных фаз, ход истории человеческой жизни).

Спираль считается знаком развития жизненной силы, данной нам природой. Это стремление к новым уровням, к своему центру, мудрости. Спираль часто ассоциируется со змеей, олицетворяющей, в свою очередь, мудрость предков. Ведь известно, что змеи очень любят сворачиваться кольцами и внешне походят на спирали.

В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улиток), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота).Спиральные формы представлены от эволюционных глубин (молекулы ДНК) до законов диалектики.

Спирали также широко проявляют себя в растительном и животном мире:

• Спирально закручиваются усики растений, а так же происходит рост тканей в стволах деревьев.
• По спирали расположены семечки в подсолнечнике и чешуйки сосновых шишек.
• По мнению многих исследователей, в частности, известного ученого Т. Кука, именно «золотая» логарифмическая спираль наиболее чаще проявляется в рогах баранов, коз, антилоп и других рогатых животных.

Помимо природы спираль встречается также в деятельности человека:

• В архитектуре.
• Применение в технике.

Одно из изобретений Архимеда - винт (прообраз объемной спирали) - использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека («улитки») - устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов.

Самая распространенная его разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой спирали также является самоцентрирующийся патрон. Данный механизм используется в швейных машинках для равномерного наматывания ниток.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что строгая математика находится в постоянном взаимодействии с нами, хоть мы этого и не замечаем.

Роза Гвидо Гранди

Уравнение данной розы имеет такой вид: r=R sin⁡ωφ.

Задавая параметр ω=n/d, отношением натуральных чисел, можно получить замкнутые кривые, при определенных условиях превращающиеся в лепестковые цветы или в ажурные розетки, которые могут служить элементами декора или орнамента.

Изменяя данное уравнение, а так же подставляя в него множество чисел можно получить огромное разнообразие роз.

Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь, так как:

Если ω=n/d, то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1. ρ=α sin⁡2φ

ρρ=α sin⁡3φ

Наиболее красивые «цветы» получается при (четырехлепестковая роза) и при k=3 (трехлепестковая роза, хотя многим, кто смотрит на данную розу, кажется, что это кривая напоминает пропеллер).

Свойства четырехлепестковой розы
Четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной - 1, концы которого скользят по координатным осям.
Площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна π/2. Если k – натуральное число, то роза состоит из 2k лепестков при четном: лепестков при k нечетном. Если k - рациональное число (k=m/n), то роза состоит из n лепестков в случае, когда оба числа n и m нечетные, и из 2n лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k – иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества лепестков.

Кардиоида – получила свое название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Определяется в полярных координатах уравнением: ρ=α(1-cos φ ), в котором α – радиус окружности.

Полярная роза – известная математическая кривая, похожая на цветок.

alt="кривая 18" />

В полярных координатах определяется уравнением: ρ=2 sin⁡4φ.

Лемниската Бернулли – кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек (фокусов) - постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Уравнение: ρ^2=2с^2 cos 2φ

• Большинство видов математических роз встречается в архитектуре, в создании человеком храмов, церквей и т.д.
• В архитектуре малых форм (орнамент)

С помощью выращенных цветов, различных кривых и графических редакторов можно сделать, например, различные рисунки, рамки-орнаменты или украсить ими различные предметы. Орнамент – украшение, узор, состоящий из ритмически организованных повторяющихся элементов, которые композиционно могут образовывать орнаментальный ряд или раппорт.

• В ландшафтном дизайне
• В природе встречается в огромном разнообразии цветов любых форм.

В ходе моего исследования по данной теме я выяснила, что человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета у него может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы.

Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии у человека. Так же я узнала, как происходит построение математических спиралей и роз и решила воспользоваться и проверить данные знания в реальной жизни.

Из всей данной работы можно сделать вывод, что спирали и розы занимают важную и значимую роль в нашей жизни. Без них было бы невозможно существование многих растений, животных, космических галактик. Так же без знания таких фигур люди не смогли бы воспроизводить данную красоту в архитектуре, ландшафтном дизайне и любой другой своей деятельности.

Проведя исследование на данную тему, я узнала много интересного связанного с математическими расчётами, спиралями, розами, об их значениях и проявлениях в природе и деятельности человека. Научилась делать построение некоторых фигур, и в итоге пришла к выводу, что всё всегда связано с окружающим нас миром, и ничего не возникает из ниоткуда.

В жизни всегда было и будет множество великих математиков, открывающих нам огромный мир чисел, формул и построений, но мы не должны забывать про наш удивительный и невероятный мир, полный чудес и еще множеств нерешенных задач.

Практическая значимость работы: Данное исследование можно применять на факультативных занятиях по математике.

Цель работы достигнута: определена значимая роль математических кривых – роз и спиралей в жизни человека. Гипотеза о том, что розы и спирали присутствуют в каждом аспекте нашей жизни, подтверждена. Все поставленные в работе задачи решены: проведен анализ видов роз и спиралей, известных в математике, рассмотрены объекты, с которыми человек встречается ежедневно и использует в своей деятельности, проведено построение математических роз и спиралей в классе.

1. Хабиб, З., Сакаи, М., 2005. Спиральные переходные кривые и их приложения. Scientiae Mathematicae Japonicae 61, 195 – 206.
2. Харари, Г., Таль, А., 2011. «Естественная 3D спираль». Компьютерная Графика Форум, 237 – 246
3. Г. Аракелян, 2014. «Математика и история золотого сечения»
4. М.Я. Выгодский, М.: ACT: Астрель, 2006. — 991 с. «Справочник по высшей математике»