Классическая задача построения мостов

Два с половиной столетия назад замечательный русский учёный, математик, физик, астроном Л. Эйлер поставил и теоретически разрешил задачу об устойчивости сжатого стержня. Её суть – поиск критического усилия, которое может нарушить первоначальную, прямолинейную форму равновесия. Критического потому, что после него эта форма иногда ещё существует, но в расчётах не учитывается, потому что стала неустойчивой, может в любой момент подвести строителя.

Через полтора века, в 1908 г., немецкий учёный Лоренц усложнил задачу, заменив стержень тонкостенной цилиндрической оболочкой. И тоже решил её – теоретически. Важность задачи стала причиной большого числа экспериментальных проверок теории Лоренца. И все они показывали, что фактическое критическое усилие, нарушавшее первоначальную, прямолинейную форму равновесия, примерно вдвое - втрое ниже теоретически предсказанного.

Были разработаны разные гипотезы, объясняющие разногласие теории и практики. Например, интересная теория известных учёных Цянь Сюэсеня и Т. Кармана, обосновавшая неизбежность превышение теоретических пределов устойчивости оболочки над фактическими влияниями внешней среды.

Предположения Цяня – Кармана подтверждались приближенными теоретическими расчётами. Упрощенными потому, что в 30-е годы, когда была выдвинута эта сложнейшая по математическому аппарату теория, её точный расчёт был немыслим. Только в конце 50-х годов, когда на вооружение учёных поступила электронно-вычислительная техника, появилась возможность выполнения уточненных расчётов. И оказалось, что теория неверна.

В эти же годы сформировалась другая точка зрения на проблему. Она объясняла расхождение теории и практики тем, что реальная геометрия тела далека от идеальной теоретической – стенки цилиндра имеют различные искривления, составляющие всего 1:10, даже 1:100 толщины оболочки. И малые, геометрические погрешности столь сильно снижали рассчитанные Лоренцем значения критической силы.

Эту точку зрения подтвердили опыты. Улучшение технологий изготовления оболочек, применявшихся для испытаний, сразу уменьшило разрыв лоренцовской и экспериментально найденной критическими силами.

Для практики методы изготовления опытных образцов были непригодны – надо было ввести в теоретические расчёты учёт изначальных неправильностей формы. Это – новая задача. Дело в том, что угадать заранее реальных начальный прогиб будущего сооружения нельзя – погрешности формы имеет ярко выраженный характер, зависят от тысячи причин, которые невозможно предсказать, хотя бы потому, что их так много.

Казалось, проблема зашла в тупик. Чтобы ввести погрешность в расчёт, её надо измерить, а чтобы измерить, надо сначала выполнить изделие в натуре.

Выход подсказали методы одного из разделов математики – теории вероятности. На этом этапе исследований задача была сформулирована следующим образом: установить для данной технологической схемы вероятностные характеристики начальных неправильностей формы оболочки.

Эти вероятностные характеристики и вводят затем в расчёт критической нагрузки. При этом расчёт, не исключает опасное состояние конструкции, а только ограничивает её вероятность. Предположим, что оно может возникнуть в одном случае из тысячи. А в результате вероятность отказа (разрушения конструкции) должна быть меньше назначаемой заранее допускаемой вероятности

Такой подход позволяет вести расчёт, приводящий к максимально достоверным значениям критических для конструкции нагрузок. Это ведёт к экономии материалов, к повышению надёжности конструкции.

I. Увеличение жесткости конструкции.

Одно из важнейших свойств любых инженерных конструкций – жесткость. Понятно, что ни под действием собственной силы тяжести, ни под влиянием внешних нагрузок конструкция не должна изменять свою форму. Правда совсем избежать деформации невозможно, через мосты идут потоки людей, транспорта и по этому конструкции мостов подвержены деформациям, но нужно выбрать такой материал, тип деталей, чтобы деформация была минимальной.

1. Использование полого цилиндра.

Для опыта взяли: 2 прямоугольника длиной 40см и шириной 16см из плотной бумаги, две стопки книг, которые будут использоваться, как подставки, и легкие гирьки (или монеты).

Положим на 2 стопки книг 1 прямоугольник и нагрузим его малым грузом. Под этим малым грузом листок – своеобразный мостик – сильно прогнется.

Второй прямоугольник свернём в трубку и завяжем ниткой, чтобы он не разматывался, и также положив на стопки книг, нагрузим тем же грузом. Видим, что под прежним грузом трубка практически не прогибается.

Итак, таким простым способом можно увеличить жесткость конструкции в десятки раз.

1. а) Диаметр полого цилиндра.

С помощью выше поставленного опыта, мы поняли, что использование полого цилиндра увеличивает жесткость конструкции. Выясним, как влияет изменение диаметра этого полого цилиндра на его жесткость.

Возьмем 3 полых цилиндра разного диаметра, но одинаковой длины, толщины и материала и нагрузим их одинаковым грузом.

1. Диаметр полого цилиндра равен 4,6 см.

Величина прогиба составил 1см.

2. Диаметр полого цилиндра равен 3,9см.

Величина прогиба составил 0,8см

3. Диаметр полого цилиндра равен 2,9см.

Величина прогиба составил 0,5см.

№ опыта	Диаметр полого цилиндра(d,мм)	Величина прогиба (х, мм)
1	46	10
2	39	8
3	29	5

Из этого следует вывод, что чем меньше диаметр полого цилиндра, тем он прочнее.

2. Расположенеие материала конструкции должно быть как можно дальше от нейтрального слоя.

Нейтральный слой – поверхность, разделяющая при изгибе балки ее сжатую и растянутую зоны.

Докажем, что расположение основного материала конструкции как можно дальше от нейтрального слоя увеличит ее жесткость на примере следующего опыта:

Материалы: прямоугольный брусок из резины (или другого упругого материала) с поперечным сечением приблизительно 1 – 2 см и длиной около 10 см; масштабная сетка из продольных и поперечных линий.

Нанесем на брусок масштабную сетку. Затем согнем брусок – сетка исказится. При этом поперечные линии останутся прямыми, но повернутся относительно друг друга и перестанут быть параллельными, а продольные линии искривятся. Нетрудно заметить, что материал бруска на одной стороне испытывает растяжение, а на другой – сжатие.

Но среди продольных линии есть одна, идущая посередине, которая не изменяет своей длины. Очевидно, что и весь горизонтальный слой материала, лежащего за линией, которая не изменяет своей длины, не испытывает деформации. Поэтому он носи название нейтрального слоя.

Из этого опыта следует, что чем дальше от нейтрального слоя расположен участок бруска, тем большее растяжение он испытывает. Тогда, согласно закону Гука, и сила упругого сопротивления изгибу возрастает по мере удаления от нейтрального слоя. Другими словами, основной вклад в жесткость бруска вносит слой, наиболее далекий от нейтрального.

3. Использование фермы.

Ферма – (франц. ferme, от лат. firmus – прочный) геометрически неизменяемая стержневая конструкция, у которой все узлы принимаются при расчете шарнирными.

Простейшую ферму я изготовила самостоятельно. Приклеив к середине листка бумаги поперечную полоску, соединенную натянутыми нитками с концами листка. Теперь, если мостик нагрузить, он начнет прогибаться, и нитки натянутся сильнее. Разорвать их достаточно трудно, и поэтому такая конструкция значительно жестче, чем плоский листок.

Кроме фермы в строительстве мостов используются разные конструкции. Такие как швеллер, тавр, двутавр и другие.

4. Использование арок.

Арки были известны с глубокой древности, чуть ли не с начала четвертого тысячелетия до нашей эры. Принцип их действия состоит в трансформации вертикальных нагрузок в боковые давления арочного кольца, которые передаются на основание (пяту) арки.

В данной работе мы познакомились с историей строительства мостов. Представили то множество проблем, которые существуют при их постройке, связанных с обеспечением прочности и устойчивости. Поняли, что строительство мостов – один из актуальных вопросов нашего времени.

1. Журнал «Квант»
2. Журнал «GEO» , 40 выпуск
3. Попов А.Н., Шимко В.Т.«Польза, прочность, красота.» (Рассказы о строительной науке)

Перейти к содержанию
проекта "Изучение строительства мостов"