«Золотое сечение» в геометрических задачах

Задача 1. На основании АС золотого треугольника АВС как на диаметре построена окружность. Точки пересечения окружностей и боковых сторон- Nи Р. Найти периметр фигуры ANPC, где ANи PC- отрезки сторон треугольника, а NP дуга окружности.

Решение. Пусть точка О - середина АС. ANOи CPOравны, и каждый подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия φ/2, Значит, AN = PC·φ/2

Таким образом, NA + AC + CP= φ + 1 = ФN ∟NOP = 108°значит длина дугиравна: 3π/5.

Ответ: РΔ= Ф + π/5

Задача 2. На рисунке радиус R описанной и радиус r вписанной окружностей золотого треугольника. Доказать что R ∙r = sin18°. Решение. Из треугольника BDO (рис.1) имеем:

R=φ/2 cos18° = 2φ/2√2+φ = φ/√2+φ.

Из треугольника BEO(рис.2):

BO = r/sin18°.

Из треугольника BHC:

BH/HC = ctg18° 2( r + r/sin18°) = ctg18°,

2r(sin18°+ 1) = cos18°, r = cos18°/2sin18°+2.

Подставляя сюда значения sin18° и cos18°,выраженные через φ ,получим:

r = √2+φ/2(φ+1) = √2+φ/2φ².

Перемножим Rиr:

= φ/√2+φ ∙√2+φ = 1/2φ = φ/2 = sin18°

Ответ: R = φ/√2+φ, r = √2+φ/2φ².

Я думаю, что моя работа является мини-пособием для изучения «золотого сечения». Возможно, не все подробно, но в проекте затронуты все опорно- полагающие аспекты. Также я рассмотрел применение «золотого сечения» в искусстве с древнейших времен до наших дней. Секрет того могучего эмоционального воздействия, которое эти здания открывают на зрителя, многие искусствоведы искали и находили в соотношениях «золотой пропорции».

В своем проекте я описал применение «золотого сечения» только на нескольких зданиях, но здания, при построении которых применяли «золотое сечение». Таким образом доказал, что «золотое сечение» играет важную роль в искусстве, в математике, в природе.

«Золотое сечение» используется в живописи, в скульптуре, архитектуре.

Как говорил Иоганн Кеплер: «золотое сечение - действительно является драгоценным камнем».

Перейти к содержанию
Исследовательской работы "Золотое сечение"