Зеркальная симметрия. Параллельный перенос
1.4. Зеркальная симметрия
Если какой-либо предмет или плоскую фигуру можно разделить плоскостью на две половины таким образом, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости, как в зеркале, повторила другую, то они обладают зеркальной симметрией (Рисунок 2.8).
Зеркальная симметрия – это симметрия относительно плоскости, в природе она называется билатеральной симметрией. Зеркальная симметрия, хорошо знакомая каждому из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает некоторый предмет и его изображение в плоском зеркале.
Геометрическое определение таково: фигура называется симметричной относительно плоскости Р (зеркальная плоскость, плоскость симметрии), если каждой точке Е этой фигуры соответствует такая принадлежащая той же фигуре точка F, что отрезок ЕF перпендикулярен к плоскости Р и делится этой плоскостью пополам (Рисунок 2.9) [3].
1.5. Зеркально-поворотная симметрия
Вырежем из плотной бумаги квадрат и впишем внутрь его косо другой квадрат (Рисунок 2.10).
Затем отогнем углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний квадрат (соседние углы отгибаются в противоположные стороны). В результате получим объект, показанный на рисунке 2.11.
Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей симметрии. Будем рассматривать изделия сначала сверху, а затем снизу (с противоположной стороны листа бумаги). Мы обнаружим, что никакого различия между «верхом» и «низом» нет; в обоих случаях объект выглядит одинаково.
В связи с этим возникает мысль, что поворотная симметрия 2-го порядка не исчерпывает всей симметрии данного объекта. Дополнительная симметрия, которой обладает наш объект, - это так называемая зеркально-поворотная симметрия: объект совмещается сам с собой в результате поворота на 90° вокруг оси АВ и последующего отражения в плоскости CDEF. Ось АВ называют зеркально-поворотной осью 4-го порядка.
Таким образом, здесь наблюдается симметрия относительно двух последовательно выполняемых операций – поворота на 90 и отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота. Такой вид симметрии получил название зеркально-поворотной. [3]
1.6.Переносная (трансляционная) симметрия
При переносе (трансляции) вдоль прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой (Рисунок 2.12).
В этом случае говорят о переносной, или трансляционной, симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, а расстояние а – элементарным переносом или периодом. Строго говоря, симметричная по отношению к переносам фигура должна быть бесконечно длинной в направлении оси переноса.
Однако понятие переносной симметрии применяют и в случае фигур конечных размеров, имея в виду наблюдаемое при переносе частичное совмещение фигуры. Из рисунка 2.13 видно, что при переносе конечной фигуры на расстояние а вдоль прямой АВ наблюдается совмещение участка 1 и участка 2. [3]
2. Параллельный перенос
При параллельном переносе все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (Рисунок 2.14).
Параллельным переносом можно назвать переносную (скользящую) симметрию вдоль прямой (Рисунок 2.15). [1]
Свойства параллельного переноса:
- Отрезок переходит в равный ему отрезок
- Угол переходит в равный ему угол
- Окружность переходит в равную ей окружность
- Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник
- Параллельные прямые переходят в параллельные прямые
- Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые
