Проект на тему "Платоновы тела в футболе"

В ходе работы над исследовательским проектом по математике на тему «Платоновы тела в футболе», учащийся 6 класса знакомится с основами Платоновых тел и их геометрическими особенностями. Автор анализирует, как идеи симметрии и правильных форм связаны с устройством футбольного мяча и почему для его конструкции используется форма, близкая к усечённому многограннику. Кроме того, рассматривается, как математические модели помогают объяснять и улучшать реальные объекты в спорте.

Индивидуальный проект по математике в 6 классе о Платоновых телах в футболе будет полезен тем, что помогает лучше понять связь между математикой и реальными объектами в спорте. Проект развивает представления о симметрии и пространственных формах в геометрии. Также учащийся учится видеть, как Платоновы тела и связанные с ними модели применяются при конструировании футбольного мяча и других объектов.

Оглавление

Введение
1 РАЗДЕЛ (Теоретический)
2 РАЗДЕЛ (Исторический)
3 РАЗДЕЛ (Практический)
Заключение
Список литературы

Тема проекта:
В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к многогранникам. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью в области архитектуры зданий. Позже, люди начали применять эти фигуры в разных областях структуры, а также в футболе.

Актуальность проекта:
Рассматривая Платоновы тела на уроке, я задался вопросом: А знают ли люди, что в основе такого привычного для нас предмета, как футбольный мяч, лежит Платоново тело? Для этого решил провести опрос и узнать, сколько людей об этом знает.

Вопросы:

По результатам опроса, я выяснил, что хотя все из опрошенных знают, что такое платоновы тела, все они не обладают информацией о строении футбольного мяча. Я решил рассмотреть этот вопрос подробнее и рассказать о нем в своем проекте.

Цель проекта:

• Узнать историю футбольного мяча
• Понять, как люди пришли к выбору формы нынешнего футбольного мяча
• Найти информацию об особенностях строения футбольного мяча.

Задачи:

1. Изучить историю многогранников
2. Узнать, какие Платоновы тела применяются в построении футбольных мячей
3. Узнать, как люди модифицировали футбольный мяч
4. Узнать, кто придумал использовать платоновые тела в мяче

Объект исследования: Платоновы тела.

Предмет исследования: Платоновы тела в футболе.

 

Многогранники – это объемные геометрические тела, которые ограничиваются поверхностью, составленной из многоугольников.

Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, грани которого являются равными правильными многоугольниками, обладающий пространственной симметрией.

Если все грани многогранника равны между собой и являются правильными многоугольниками, то такой многогранник называется правильным. На первый взгляд, кажется, что правильных многогранников существует бесконечное множество, как и правильных многоугольников. Но оказывается, что правильных многогранников всего пять. Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела».

Платон рассматривает их в диалоге «Тимей». В нем мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

К пяти Платоновым телам относятся тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр имеет 4 треугольные грани, куб состоит из 6 квадратов, октаэдр — из 8 треугольников, додекаэдр — из 12 пятиугольников, а икосаэдр — из 20 треугольников. Все эти фигуры отличаются правильностью, симметрией и строгим расположением граней, рёбер и вершин.

Платоновы тела:

На картинке мы видим пять платоновых тел.

Платон связывал правильные многогранники с устройством мира. Он считал, что четыре из них соответствуют природным стихиям: тетраэдр — огню, куб — земле, октаэдр — воздуху, икосаэдр — воде. Додекаэдр, по мнению Платона, символизировал Вселенную. Такое представление показывает, что многогранники изучались не только как математические фигуры, но и как часть философского понимания природы.

Позже правильные многогранники стали важной темой в геометрии. Их изучали многие учёные, потому что они помогают понять свойства пространства, симметрию и закономерности построения объёмных тел. Эти фигуры часто встречаются в учебниках математики, моделировании, архитектуре, дизайне и компьютерной графике.

Платоновы тела также связаны с формой футбольного мяча. Например, икосаэдр имеет форму, близкую к сфере, поэтому его удобно использовать как основу для создания мяча. Если у икосаэдра «срезать» вершины, получится усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из пятиугольников и шестиугольников. Именно такая форма стала основой классического футбольного мяча.
 

Поверхность классического футбольного мяча состоит из слегка искривлённых 12 правильных пятиугольников чёрного цвета и 20 правильных белых шестиугольников. Модель мяча можно представить следующим образом.

Из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников с равными сторонами можно сложить многогранник, называемый усечённым икосаэдром.

Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов είκοσι — двадцать, έδρα — основание. У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 рёбер.

«Отрежем» (отсечём) вершины икосаэдра, отступив от вершин вдоль прямых, направленных в центр, на столько, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками. Срезы будут правильными пятиугольниками. Получившаяся фигура и есть усечённый икосаэдр.

В футболе, еще в 1950 году начали применять форму многогранника – усеченного икосаэдра для изготовления футбольных мячей.

Задача достигнуть идеально круглой формы упираясь в технологические решения.
С точки зрения симметрии, многогранники – был идеальный выбор. Из пяти правильных многогранников наиболее подходящим являлся икосаэдр. Но еще более подходящим вариантом являлся усеченный икосаэдр Архимеда.

Усечённый икосаэдр — один из полуправильных многогранников. Так называются многогранники, у которых все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов (в отличие от правильных многогранников, все грани которых — одинаковые правильные многоугольники), а все вершины устроены «одинаково», т. е. многогранные углы при вершинах равны (совместимы).

При «наполнении воздухом» модели (усечённого икосаэдра) она принимает форму сферы, становится футбольным мячом. При этом вершины усечённого икосаэдра совпадут с «вершинами» мяча, рёбра перейдут в швы, а грани — в слегка искривлённые многоугольники на поверхности мяча. Таким образом, получится мяч — центральная проекция усечённого икосаэдра на сферу.

Раздувание усечённого икосаэдра заставляет задуматься о степени близости к шару формы изначальной модели. Например, можно оценивать это сходство отношением радиусов концентрических сфер — описанной (проходящей через вершины; будущий мяч) и вписанной. Чем ближе это отношение к единице, тем совершеннее модель, тем ближе она к идеально круглому мячу.

Черно белую окраску же придумали уже в 1970 году, чтобы на черно-белых экранах было видно мяч. Этот мяч был разработан компанией adidas и назывался он Teslar.

В 1978 году компания adidas представляет модель tango. Дизайн этого мяча был настолько удачным, что в пяти следующих чемпионатах применялась идея этого мяча. В дальнейшем люди разработали другие виды, мячей не используя платоновы тела.

Так одно из тел Архимеда – усеченный икосаэдр получило всемирное признание, а количество деталей в современном мяче сократилось с 32 до 6.
Также, урезая икосо-додекаэдр, мы можем получить сферу, но такой дизайн не применяли.

Воспользовавшись коллекционным журналом «Волшебные грани» с помощью обертки я собрал икосаэдр и додека-икосаэдр.

Развертка многогранника - это соединенная по равным элементам модель многогранника на плоскости.

Работа с развёртками помогла мне лучше понять, как из плоской фигуры можно получить объёмное геометрическое тело. Сначала все грани многогранника находятся на плоскости, но после сгибания по линиям и соединения одинаковых сторон получается полноценная объёмная модель.

При сборке икосаэдра я увидел, что он состоит из одинаковых правильных треугольников. Все его грани равны между собой, поэтому икосаэдр относится к Платоновым телам. Эта фигура имеет много граней и хорошо приближается к форме шара, поэтому её удобно рассматривать как основу для построения более округлых тел.

Додека-икосаэдр оказался более сложной фигурой. В отличие от икосаэдра, он состоит уже из разных видов многоугольников, поэтому его сборка требует большей аккуратности. Такая работа показала, что многогранники могут иметь не только простую, но и сложную структуру, при этом сохранять симметрию и правильность формы.

Собирая модели своими руками, я смог на практике увидеть связь между геометрией и реальными предметами. Это помогло лучше понять, как устроены многогранники, как они образуются из развёрток и почему такие формы используются при создании футбольного мяча и других объектов.

В ходе работы над проектом была достигнута поставленная цель: мы узнали историю футбольного мяча, выяснили, как люди пришли к выбору его современной формы, и рассмотрели особенности его строения.

Мы изучили историю многогранников и поняли, что геометрия играет важную роль в создании футбольного мяча. Современный классический футбольный мяч имеет форму, близкую к усечённому икосаэдру. Такая форма состоит из правильных пятиугольников и шестиугольников, благодаря чему мяч получается почти круглым и удобным для игры.

Также мы выяснили, что при построении футбольного мяча связаны идеи Платоновых и Архимедовых тел. Икосаэдр относится к Платоновым телам, а после усечения его вершин получается Архимедово тело — усечённый икосаэдр. Именно эта геометрическая форма стала основой классического футбольного мяча.

При работа над индивидуальным проектом мы узнали, что футбольный мяч постепенно изменялся: сначала его делали из кожи и других простых материалов, затем улучшали форму, прочность, упругость и водонепроницаемость. Со временем появились более удобные и технологичные мячи, которые лучше сохраняют форму и позволяют точнее контролировать удар.

Таким образом, футбольный мяч — это не только спортивный предмет, но и пример практического применения геометрии в жизни. Его форма была выбрана не случайно: она помогает сделать мяч прочным, устойчивым и максимально приближённым к сфере. Изучение этой темы показало, что математика и спорт тесно связаны между собой.

В итоге, мы узнали, где можно применять и пользоваться теорией многогранников в жизни.
Мы познакомились со строением футбольного мяча и узнали, как люди дошли до использования Платоновых и Архимедовых тел в футболе.

1. Футбольный мяч // Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — Второе издание, расширенное и дополненное. — М. : Математические этюды, 2019. — Стр. 154—155, 344-345.