В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему "Умножение без таблицы умножения" автором была собрана информация о необычных способах перемножения разных чисел без использования таблицы умножения.

Подробнее о работе:

В ученической исследовательской работе по математике "Умножение без таблицы умножения" автором были рассмотрены методы умножения, при которых не нужно знать таблицу умножения. Среди таких русско-крестьянский способ умножения, а также разные методики умножения с помощью прямых. 

Учебный исследовательский проект по математике на тему "Умножение без таблицы умножения" направлен на ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, для вычисления которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги. Все описанные методы продемонстрированы схематично и доступны для использования в современных реалиях.

Оглавление

Введение
1. Русско-крестьянский способ умножения.
2. Умножение с помощью прямых.   
2.1. Умножение двухзначного числа на двухзначное.             
2.2. Умножение трехзначного числа на двухзначное.
3. Умножение при помощи кругов.                                                      
3.1. Умножение двухзначного числа на двухзначное.            
3.2. Умножение трехзначного числа на двузначное.              
3.3. Умножение трехзначного числа с нулем на двузначное.
3.4. Умножение трехзначного числа на трехзначное               
Заключение                                                                                   
Литература.

Вы не сможете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения.

В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения  многозначных чисел.

Но проблема в том, что не все  современные ученики  хорошо знают таблицу умножения?  Потому возник вопрос: «Не существуют ли способов перемножать числа и без знания таблицы умножения?».

Таким образом, я выдвинул гипотезу: нельзя ли выполнить умножение больших чисел без знания  таблицы умножения.

Объектом моего исследования являются математическое действие умножения; предметом исследования - различные способы умножения.

Цель проекта: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, для вычисления которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.

Задачи:

• Найти и разобрать различные способы умножения.
• Рассмотреть методы умножения при которых не нужно знать таблицу умножения. Расширить круг примеров, решенных указанным способом.
• Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

Актуальность темы проекта. Для современного ученика умножать числа это не проблема, так как он знает таблицу умножения и с помощью действия умножения легко справится с заданием. Но не все дети знают таблицу умножения и не все выполняют его с интересом. А научиться умножать это жизненная необходимость. Поэтому научить детей умножать можно и другими  интересными способами.

Методы:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;
• исследовательский метод при определении способов умножения;
• практический метод при решении примеров.

Мало кто подозревает, что нынешние способы выполнения арифметических действий тоже не всегда были так просты и удобны, так прямо и быстро приводили к результату.

Не всем умножение дается легко и просто. А уж тем более умножать большие числа.

За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения.  Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются.  Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно.

Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами. Но возможно, среди них есть более интересные и увлекательные способы умножения.  Посмотрим некоторые из них.

В России  среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева,  а другое справа на одной строке (рис. 3).  Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик. 

Если  при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.

Затем вычеркиваем  те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.

Ответ – 1972026.

Этот способ интересен, но как мы видим его можно применить, только если знаешь деление на 2.

Давайте посмотрим  еще более интересные способы умножения. В этих случаях нам таблица умножения не нужна.

При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют  количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Пример: умножим 31 на 12. В первом множителе 3 десятка и 1единица, значит строим 3 параллельные прямые и чуть дальше 1 прямую.

Во втором множителе 1 десяток и 2 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть   31 х 112 = 372

Пример: умножим 213 на 13.

В первом множителе  2 сотки,1 десяток  и 3 единицы, значит строим сначала 2 параллельные прямые, чуть дальше 1 прямую и чуть дальше 3 параллельные прямые.

Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Так же параллельно строим прямые, но в другом направлении.

Далее разделяем их дугой как показано ниже и читаем точки пересечения.

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть 213 х 13 = 2769.

Забавно и интересно, придется  точки пересечения считать.  В общем, без таблицы  умножения можно обойтись!

Этот способ умножения –с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем предыдущий.  Даже чем-то на него похож.

В Интернете был указан только один пример умножения двузначного числа на двузначное, но я его исследовал и  применил к многозначным числам. Давайте разберем подробнее.

13 х 24 = 312

Последовательность работы.

1) Чертим круги, так как второй множитель двузначное число, то и два столбца. В первом ряду по одному кругу, во втором ряду по три круга.

2) Второй множитель число 24, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце делим на четыре части.

3) Проводим прямые и считаем точки.

Ответ записывается следующим образом, смотрим снизу вверх количество точек 12,  2 – последняя цифра результата, один в уме, количество точек во второй области 10 и +1, того 11, 1 пишем и один в уме, количество точек в третьей области 2 и +1, того 3. Ответ – 312.      

Я провел самостоятельное исследование и определил способ решения еще трех примеров:

• Умножение трехзначного числа на двузначное.
• Умножение трехзначного числа с нулем на двузначное.
• Умножение трехзначного числа на трехзначное.

Все примеры, приведенные для показа данного метода придуманы и решены самостоятельно.

132 · 21 = 2772

Решения примера данного типа не было, я  доработывал его самостоятельно.

Алгоритм.

1) Чертим круги, так как второй множитель двузначное число, то и два столбца. В первом ряду по одному кругу, во втором ряду по три круга, в третьем ряду по два круга.

2) Второй множитель число 21, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце так и остаются.

                   

3) Проводим прямые и считаем точки.

              

Ответ записывается следующим образом, смотрим сверху вниз, по часовой стрелке, количество точек в первой области 2, количество точек во второй области 7, в третьей области 7, в четвертой области 2.

Ответ – 2772.      

203 х 21= 4263

Последовательность работы.

Алгоритм такой же, как при умножении трехзначного числа на двузначное, но круг, обозначающий ноль, чертим пунктирной линией -  это воображаемая линия, точек на ней не существует.

Ответ: 4263

123х 121= 14883

Решения примера данного типа  тоже не было

Алгоритм.

4) Чертим круги, так как второй множитель трехзначное число, то и три столбца. В первом ряду по одному кругу, во втором ряду по два круга, в третьем ряду по три круга (рис. 17)

5) Второй множитель число 121, то круги, которые в первом  и третьем столбце так и остаются, а круги, которые во втором столбце делим на две части (рис. 18).

6)                                  

7) Проводим прямые и считаем точки (рис. 19).

                

Ответ записывается следующим образом, смотрим снизу вверх количество точек 3-последняя цифра результата, количество точек во второй области 8, в третьей области 5, в четвертой области 2. Ответ – 14883.      

При выполнении данной работы над проектом по математике на тему "Умножение без таблицы умножения" мне понадобились не только те знания, которые были у меня, но и  работа с дополнительной литературой и с интернет ресурсами.

В процессе выполненной исследовательской работы по математике на тему "Умножение без таблицы умножения" получены следующие выводы и результаты.

1. В ходе работы над исследовательским проектом "Умножение без таблицы умножения" я нашел и освоил различные способы умножения многозначных чисел и могу констатировать следующее:

• большинство способов умножения многозначных чисел основаны на знании таблицы умножения;
• способ «решетчатое умножение» ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе;
• многие приемы умножения, которые мы встретили в разных источниках, опираются на знание таблицы умножения. «Русский крестьянский способ умножения» не требовал знаний таблицы. Достаточно только уметь умножать и делить на два.

2. Исследовав методы умножения, которые можно назвать методами умножения с помощью кругов и прямых,   я доказал, что существуют способы умножения чисел, для которых достаточно наличие карандаша и бумаги и знаний таблицы умножения не требуется.

Работая над этой темой "Умножение без таблицы умножения", я узнал, что существует много различных, забавных способов умножения.

Своей работой над проектом я доказал, что моя гипотеза верна, не нужно обладать  сверхъестественными способностями, чтобы умножать числа. Есть очень интересные и увлекательные способы умножения.  

Но все таки наш способ умножения самый простой и быстрый и в общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

1. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк.-М.: Просвещение, 1989.
2. Занимательная арифметика. Перельман Я. И.Издание:8Год изд.:1954
3. Энцеклопедия для детей. Т.11 Математика. М: Аванта+ 2003г.
4. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей. Общедоступные очерки для любителей арифметики. Составитель: В. Билюстин. М:1939г. .
5. Интернет ресурсы