Индивидуальный проект "Параболы в арочных мостах"

В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему "Параболы в арочных мостах" автором была поставлена цель, изучить материал о свойствах квадратичной функции и ее графика - параболы, исследовать графики квадратичной функции в арочных мостах Санкт-Петербурга.

Подробнее о работе:

В ученической исследовательской работе по математике "Параболы в арочных мостах" автором было дано определение понятие "парабола" и приведены сведения из истории мостостроения в России с XII по XIX века. В работе подробно описываются виды мостов, автор останавливается на изучении принципа строительства мостов арочного вида.

Учебная исследовательская работа по математике на тему "Параболы в арочных мостах" будет интересна учащимся 9 класса, рассматривает теоретическую базу о построении арочных мостов с применением принципа параболы. В работе исследуется парабола в мостостроении, проводится анализ построения Санкт-Петербургских арочных мостов: Казанского, Синего, Троицкого, моста в Юсуповском саду и Арки-галереи над Зимней канавкой.

В исследовательском проекте по математике представлена теория квадратичной функции и ее графика, найдены арочные мосты в Петербурге и представлены их фотографии. На фотографиях арочных мостов города Санкт-Петербурга автор схематично изобразил параболу, расположенную на оси координат, и произвел вычисление уравнений графиков квадратичной функции, изучил их свойства.

Оглавление

Введение
1. Что такое парабола?
1.1. Парабола – график квадратичной функции.
1.2. Из истории мостостроения в России с XII по XIX века.
1.3. Виды мостов.
1.4. Арочные мосты.
2. Парабола в мостостроении.
2.1. Казанский мост.
2.2. Арка-галерея над Зимней канавкой.
2.3. Мост в Юсуповском саду.
2.4. Синий мост.
2.5. Троицкий мост.
Заключение
Используемая литература
Приложения

Ни одного архитектурного сооружения в нашем мире не существовало бы без предварительных точных расчетов, которые помогает делать наука под названием математика. В повседневной жизни довольно часто нам встречаются дугообразные конструкции; эта форма широко распространена не только из-за эстетичного внешнего вида, но и из-за способности выдерживать нагрузки, вызываемые весом самого сооружения и дополнительными факторами (сейсмическая активность в регионе, транспорт и т.д.). К таким сооружениям относятся арки, купола храмов, акведуки, однако в этой работе будут рассмотрены мосты Санкт-Петербурга.

Цели работы:

1. Изучить материал о свойствах квадратичной функции и ее графика- параболы.
2. Исследовать графики квадратичной функции в арочных мостах Санкт-Петербурга.

Для достижения цели я поставила следующие задачи:

• Изучить литературу про мосты Санкт-Петербурга.
• Изучить теорию квадратичной функции и ее графика.
• Найти арочные мосты в Петербурге.
• Сфотографировать эти мосты.
• Овладеть методикой задания уравнениями графиков квадратичной функции и исследовать их свойства.

Объект исследования: арочные мосты Санкт-Петербурга

Предмет исследования: свойства параболы, применяемые при строительстве арочных мостов Санкт-Петербурга

Продукт научно-исследовательской работы: презентация, включающая фотографии мостов Санкт-Петербурга, сделанные автором.

Термин функция (от лат. function – исполнение, совершение) впервые был введен немецким ученым Г. Лейбницем в конце 17 века. Функцией называется зависимость между двумя переменными x и y, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у. Одним из способов задания функции является график. Графиком функции называется множество точек в системе координат, абсциссы которых равны аргументу, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Существует довольно много видов функций: линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая и другие, каждая из них задается уравнением и графиком. Линейная функция задается прямой, квадратичная – квадратичной параболой, степенная функции вида у=х2k+1 (где k – натуральное число) - кубической парабола, функция вида y – гиперболой и тд. В данной работе будут рассмотрены исключительно квадратичная функция и ее график.

Функция вида y=ax2+bx+c, где a, называется квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки.

Чтобы построить график функции вида y=ax2+bx+c, нужно найти координаты вершины графика.

Х вершины = (-b)/2a; для нахождения у вершины нужно подставить значение найденного x в данное уравнение;

график функции y=ax2+bx+c получается из графика функции у=aх2 сдвигом в точку (х вершины; у вершины).

Довольно часто мы сталкиваемся с параболическими формами. Например, во время или после дождя мы наблюдаем радугу. В лепестках некоторых цветов, в очертании горных хребтов и вершин можно разглядеть параболу.

Гуляя по городу, мы часто видим дугообразные конструкции. Архитекторы используют параболическую форму в проектировании арок, мостов, куполов, потолков. Во-первых, именно такая форма придает эстетичный вид, во-вторых, параболическим конструкциям присуща прочность, потому что сила, создаваемая нагрузкой на мост или арку, не толкает вниз, а распределяется вдоль дуги, то есть эти строения поддерживают сами себя. В куполах всех храмов и церквей используется этот же принцип. В данной работе будут рассмотрены мосты в Санкт-Петербурге.

Прежде чем рассматривать виды мостов и их преимущества, познакомимся с историей мостостроения в России.

Постройка мостов, вероятно, началась очень давно. При Владимире Мономахе в 1115 году был построен наплавной мост через Днепр в Киев, при Дмитрии Донском во время осады Твери были построены 2 моста, а во время войны с татарами в 1380 году возвели мост через Дон. Кроме того, в Новгородской летописи упоминается о «разборчатых» мостах в Новгороде через реку Волхов(рис.4).

Наплавные мосты состояли из закрепленных между собой плотов и лодок. Именно наплавные мосты были наиболее распространены в России в этот период из-за простоты и дешевизны конструкции.

Возводной мост, прилегавший к городской стене, делался подъемным. Первое указание относительно употребления таких мостов относится к 1229 году. Механизм, приводивший мост в движение, состоял из коромысла, который вращался между столбами, и цепей.

Первый каменный мост начали строить в 1643 году при Михаиле Федоровиче Романове, однако в связи со смертью царя в 1645 году строительство было остановлено. Только в 1687 году первый каменный мост был открыт.

С воцарением Петра Великого инженерное искусство развивалось неимоверно быстро, но при царе мостов не строилось. Петр I воспринимал Петербург как крупнейший порт, куда прибывали суды всех стран Европы, а мосты мешали судоходству. Также в городе на Неве ежегодно случались наводнения и штормовые бури, которые могли повредить конструкции. Но все же Петр I сделал исключение, издав приказ о строении деревянного моста, соединявшего Березовый и Заячий острова, с целью транспортировки грузов к Петропавловской крепости.

В царствование Екатерины I в 1727 году был возведен первый наплавной мост через Неву. При Анне Иоанновне возвели несколько каменных мостов на сваях, например, Симеоновский через Фонтанку, оформленный под каменный арочный мост. Остальные мосты через Мойку и Фонтанку построены в период времени 1742-1749гг., т.е. во время правления Елизаветы Петровны. При ней же был возведен Исаакиевский мост(рис.4).

При Екатерине II в Петербурге началась замена деревянных мостов на каменные на реке Фонтанке, строение Казанского и Каменного мостов через Екатерининский канал[2], в Москве через реку Яузу был возведен Дворцовый мост. С началом строительства в 1817 году Петербурго-Московского шоссе появилось множество каменных мостов, пролеты которых могли достигать 9 саж[3]. В 40-х годах строилось несколько каменных мостов в Тифлисе[4], например, Михайловский мост с пролетом в 15 саж (32м).

Чугунные арочные мосты впервые появились в 1806 году в Петербурге при Александре I, это были первые металлические мосты в России. Были построены Полицейский, Красный, Синий, Поцелуев, Мало-Семеновский мосты.

Цепные мосты введены в Россию в 1822 году по предложению французских инженеров. Распространение таких мостов захватило период с 1824 по 1853 год. К цепным мостам относятся Пантелеймоновский, пешеходные через Екатерининский канал и Мойку, Египетский, проволочный Лиговский через Западный Бур в Брест, мост через Нарву в Ивангород, Киевский через Днепр и Островский через реку Великую.

До 1873 года из подвижных мостов с постоянными опорами применялись только подъемные с горизонтальной осью вращения. Поворотные мосты появились в первые в 1850 году при строительстве Николаевского моста в Петербурге и цепного моста в Киеве в 1853 году.

I. Балочный мост

Балочные мосты используются для перекрытия небольших пролетов. Отличаются простотой строения и прочностью. Балочные мосты способны выдержать большие вертикальные нагрузки, но не горизонтальные, такие как сильный ветер. Также такие мосты чувствительны к деформации основания. Из-за этих недостатков балочные конструкции почти не используются в современном мостостроении.

II. Висячий мост

Главное преимущество висячих мостов состоит в том, что основной пролет можно сделать максимально длинным, используя небольшое количество материала. Балочные мосты не требуют дополнительных опор, также их можно строить достаточно высоко, что дает возможность судам проходить под ними. Но под действием сильного ветра опоры крайне неустойчивы, поэтому во время штормов некоторые мосты перекрывают.

III. Вантовый мост

Это тип висячего моста. Имеет такие же преимущества, но по сравнению с висячим он более устойчив к суровым погодным условиям.

Арочный мост - мост с пролётными строениями, основными несущим конструкциями которых служат арки.[5]

Основные размеры элементов арочных мостов – высота и ширина балок, толщина плиты, высота и ширина арок, количество арматуры и т.п. – окончательно устанавливаются на основании расчета сооружения в соответствии с действующими на сооружение нагрузками и качеством материалов, из которых строится мост.

Выбор толщины арки затруднителен вследствие большого разнообразия факторов, влияющих на этот выбор, таких как величина нагрузки, марка бетона и т.д. Примерно можно принимать:

d= 145÷150L;

где d – толщина арки, L – расчетный пролет арки.[6]

Также для строения моста необходимо рассчитать максимально возможную нагрузку на конструкцию. Для этого используется формула Журавского, которая представлена на рис.9.

Казанский мост перекинут через канал Грибоедова, соединяя Казанский и Спасский острова. Длина переправы — 17,35 метров, ширина — 95 метров. Это третий по ширине мост в Петербурге после Синего и Аптекарского мостов.

С 1716 года существовал деревянный мост через речку Кривушу. В 1737 году мост получил имя Рождественский, поскольку рядом располагалась церковь Рождества Богородицы. Со второй половины XVIII века Рождественскую церковь стали называть Казанской. Такое же наименование закрепилось и за новым каменным мостом, построенным в 1766 году.

В 1805-1806 годах, в связи с постройкой Казанского собора и перепланировкой участка, примыкающего к Невскому проспекту, мост перестроили, предположительно, по проекту архитектора Л.И. Руска. Мост расширили до 95 м, а его длина составила 17,5м.

На фотографии Казанского моста (см. Приложение 1) представлены система координат и график квадратичной функции. Чтобы задать уравнение, мною был введен единичный отрезок.

y=ax²+bx+c

Арка-галерея перекинута через Зимнюю канавку. Арка была построена при Екатерине II, в 1780 году, для соединения Большого Эрмитажа с Эрмитажным театром. Работы были выполнены по проекту архитектора Ю.М. Фельтена. Существует легенда, что завистники Фельтена пустили слух о непрочности конструкции арки, но Екатерина Алексеевна, дабы развеять сомнения, устроила грандиозный пир со множеством приглашенных. Арка не деформировалась под огромным грузом, и все слухи прекратились.

На фотографии арки-галереи (см. Приложение 2) также представлены система координат и график квадратичной функции.

y=ax²+bx+c

В 1727 году один из свободных участков правого берега Фонтанки по приказу императора был передан во владения князя Григория Дмитриевича Юсупова. На плане города 1753 года можно было увидеть дом, обращенный к саду. Сад простирался до садовой улицы и вместе с прудом представлял собой великолепный образец английского пейзажного сада. Через пруд был перекинут мост.

Аналогично предыдущим примерам, рассмотрим скрытую в мосте параболу.

y=ax²+bx+c

Синий мост через реку Мойку – самый широкий в Санкт-Петербурге (99 метров), является частью Исаакиевской площади.

Берега реки Мойки начали застраивать жилыми домами уже в начале 18 века. В 1736 – 1737 годах были проведены работу по углублению реки, а берега укреплены деревянными щитами. Синий мост первоначально был подъемным, деревянным. В середине 18 века его перестроили.

В 1842 году в связи с постройкой Мариинского дворца мост значительно расширили в сторону Нового переулка (ныне переулок Антоненко). Название Синий мост идет от первоначального деревянного моста, который был выкрашен в синий цвет. Одинаковые по внешнему виду мосты в 18 веке красили в разные цвета специально для различия, чтобы они имели «свое лицо»[7]

Фотография моста представлена в Приложении 4

y = ax2+bx+с

Троицкий мост соединяет центральную часть города с Петроградской стороной. Перекинут через Большую Неву на оси Суворовской площади и Троицкой площади, от которой отходит Каменноостровский проспект.

До строительства моста на этом месте в течение ста лет наводили наплавной мост. Назывался он Петербургским, так как вел на Петербургский (ныне Петроградский) остров, затем его звали Троицким – по Троицкой площади.

Постоянный десятипролетный Троицкий мост через Неву был сооружен в 1897 – 1903 годах по проекту французской фирмы «Батильон». Руководили строительными работами русские зодчие и инженеры – Л.Н. Бенуа, Г.И. Котов, Г.Г. Кривошеин и другие.

В 1920-х годах Троицкий мост был переименован в мост Равенства. В конце 1934 года его назвали Кировским в память о Сергее Мироновиче Кирове[8]. Первоначальное имя моста возвращено в 1991 году.[9]

Как было сказано ранее, мост состоит из 10 пролетов. Мною будут рассмотрены 2 центральные арки, длины которых равны 76,4м и 96,4м (см. Приложение 5).

1) Длина арки – 76,4м

y = ax2+bx+с

Мосты играют важную роль в архитектурном облике Петербурга. Наш город занимает первое место в стране и одно из первых мест в мире по их количеству. В Северной Венеции имеется около 500 мостов различных видов, среди них более 20 разводных.

Около 300 мостов нашего города являются арочными, поскольку именно параболическая форма придает конструкции элегантность и изящество. Помимо изысканного внешнего вида, дугообразная конфигурация способствует равномерному распределению нагрузки на мост.

Работа над проектом позволила более детально изучить свойства квадратичной функции и ее графика, а, главное, показать практическое применение этих свойств при строительстве арочных мостов в Санкт-Петербурге.

В результате данного исследования была получена методика задания уравнениями графиков квадратичной функции по фотографиям.

Мне было интересно делать данный проект, потому что он совмещает два моих любимых предмета - математику и историю. Мне удалось подробнее познакомиться с историей своего города, в частности узнать интересные факты из истории мостостроения.

И в заключении, этот материал является актуальным для сверстников, поскольку мы живем в городе, в котором мосты являются неотъемлемой частью нашей жизни.

1. Барсунов К.П. Расчет арочных мостов// Учебное пособие, 1956. – 118с.
2. Беляев Р. Как устроен мост?// Самокат, 2019. – 64с.
3. Бунин М.С. Мосты Ленинграда // СПб.: Стройиздат, 1986. – 280 с.
4. Вейнблат Б.М., Колоколов Н.М. Строительство мостов//Учебник. Второе издание.-М.: Транспорт 19Вейнблат Б.М., Колоколов Н.М. Строительство мостов//Учебник. Второе издание.
5. -М.: Транспорт 1984г. -504с.
6. Гельфанд И.М. Функции и графики//7-е издание, стереотипное.-М.:МЦНМО, 2006. – 120с.
7. Горбачевич К.С., Хабло Е.П. Почему так названы? // 5-е издание – СПб., «Норинт», 1998. – 352 с.
8. Гордеев В.Н. Нагрузки и воздействия на здания и сооружения// Справочное пособие. ИАСВ, 2007. – 477с.
9. Дмитриева Е.В. Санкт-Петербург: Пособие по истории города с заданиями и тестами // 4-е издание – СПб.: КОРОНА принт 2001. – 336 с.
10. Зинева Л.А. Справочник инженера-строителя//Феникс, Ростов–на-Дону, 2006. – 622с.
11. Иванов А.А. Истории и легенды старого Петербурга// Центрполиграф, 2019. – 575с.
12. Кукурузова Н.В. «Богаче Романовых?..» О богатстве князей Юсуповых//Юсуповский дворец (СПб ДКРП). – СПб., 2006. -128 с.
13. Курлянд В.Г. Строительство мостов: учебное пособие для вузов // Москва: МАДИ, 2012. – 176 с.
14. Лившиц Я.Д., Онищенко М.М. Примеры расчета железобетонных мостов// К.: Вища шк. Головное изд-во, 1986. – 263с.
15. Метальникова М.В. 500 лучших мест Санкт-Петербурга // Москва: Эксмо, 2014. – 416 с.
16. Николаи Л.Ф. Краткие исторические данные о развитии мостового дела в России // СПб., 1898. – 119 с.
17. Поляков Л.П. Расчет арочных мостов // Государственное издательство литературы по строительству и архитектуры УССР – Киев, 1962. – 180с.
18. Пунин А.Л. Архитектура отечественных мостов // СПб.: Стройиздат, 1982. – 152 с.
19. Юсупов Ф.Ф. Князь Феликс Юсупов: Мемуары в двух книгах // Москва: ЗАХАРОВ, 2018. – 432 с
20. Большая советская энциклопедия: [Электронный ресурс].
21. Официальный сайт Библиотеки физико-математической школы: [Электронный ресурс].
22. Мир энциклопедий: [Электронный ресурс]. URL:
23. Официальный сайт СПб ГБУ «Мостотрест»:[Электронный ресурс].

Приложение 1. Казанский мост

Приложение 2. Арка-галерея над Зимней канавкой

Приложение 3. Мост в Юсуповском саду

 

Приложение 4. Синий мост

 

Приложение 5. Троицкий мост