В процессе выполнения индивидуальной исследовательской работы по экономике "Производная в экономике" автором была поставлена цель, проинформировать учащихся об использовании производной в экономике. Для этого автор изучает свойства производной и дает полное определение понятия производной.

Подробнее о работе:

В основе готового исследовательского проекта по экономике "Производная в экономике" лежит изучение истории появления производной, рассматриваются сферы применения производной, объясняется, каким образом используется производная в экономике. На основе изученной информации ученица 10 класса создаеть справочник о производной и ее применении и презентует справочник своим одноклассникам.

Результатом работы над ученическим проектом по экономике "Производная в экономике" стал разработанный учащейся справочник, с помощью которого можно будет легко и быстро вспомнить что такое производная и как она применяется в экономической сфере. В работе предложены примеры основных экономических задач, которые решаются с помощью производной. Полный текст проекта с формулами прикреплен внизу этой страницы.

Оглавление

Введение
1. История появления производной.
2. Понятие производной.
3. Сферы применения производной.
4. Производная в экономике.
Заключение
Информационные источники

Впервые с производной мы встречаемся в школе на уроках математики, но встретить её можно и в жизни. Так в математике она применяется для исследования функций, в практических задачах оптимизации.

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Экономические задачи достаточно сложны, и чтобы облегчить решения данных задач, существует такое понятие, как «производная». В своей работе я попыталась объяснить и доказать, что производная действительно помогает решать различные экономические задачи.

Цель проекта: Проинформировать учащихся об использовании производной в экономике.

Задачи проекта:

1. Изучить свойства и понятия производной.
2. Изучить возможности использования её в экономике.
3. Создать справочник о производной и ее применении.
4. Презентовать справочник учащимся.

Методы исследования: изучение различных интернет ресурсов и литературы.

Продукт проекта: справочник.

Предполагаемая аудитория реализации: 11 классы.

Срок реализации: 3 месяца.

Практическая значимость проекта: Практическая значимость проекта заключается в том, что с помощью справочника можно будет легко и быстро вспомнить что такое производная и как она применяется в экономической сфере.

В экономической сфере не редко приходится прибегать к различным графикам вычислениям и т.д. И не всегда это бывает легко так как со временем что то все равно забывается. Я выбрала эту тему так как она мне понравилась я захотела в ней разобраться получше и узнать каким образом производна помогает в экономике.

В конце 12 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что Путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуем: физикой, ( a=V’=x’’, F=ma=m*x’’, импульс P=mV=mx’, кинетическая E=mV2/2=mx’2/2), химией, биологией и техническими науками.

Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.

К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f (x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f (x). Тот процесс, с помощью которого из данной функции f (x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:

1) даем аргументу x приращение Δ x и определяем соответствующее приращение функции? y = f (x+Δx) -f (x);

2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а Δ x 0, находим, который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение: Производной y'=f '(x) данной функции y=f (x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т. е. конечен.

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение при Δ x0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f (x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

Как можно понять из названия проекта производная применяется в сфере экономики, но это все. Так же она применяется:

В физике с помощью производной находится сила, мощность масса тонкого стержня, сила тока, скорость и ускорение, теплоёмкость.

В химии и естествознании для нахождения дозы лекарства, при которой побочный эффект будет минимальным, а реакция максимальной.

В военном деле в задачах о преследовании.

В сельском хозяйстве для определения рационального соотношения сторон прямоугольника, являющихся основой сети полевых работ.

Далее в проекте я разберу применение производной в экономике.

Производная в экономике решает важные вопросы:

• В каком направлении изменяется доход государства при увеличении налогов или при введении налоговых пошлин?
• Увеличивается или уменьшается выручка фирмы при повышении цены на её продукцию?

Если спросить экономиста “Что такое производная?”, то он ответит: «маржинализм». Слово «маржинализм» охватывает целый комплекс понятий в современной экономической науке.

"Marginal" в переводе с английского языка означает "находящийся на самом краю", "предельный", "граничный". К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная склонность к потреблению и т.д.

Понятие предельных величин позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений, посредством которого стало возможно решать научные проблемы, прежде не решённые или решённые неудовлетворительно. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Конечно, экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих экономических расчетов, а также прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно эффективно использовать предельные величины.

Какое же отношение экономика имеет к производной?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть предприятие «А» производит Х единиц продукции.

К - суммарные затраты или издержки производства.

Производственная функция, описывающая зависимость затрат от объёма производства имеет вид: К=f(х).

Теперь рассмотрим понятие предельных издержек производства:

Предельные издержки производства – это дополнительные затраты, которые несёт предприятие при увеличении объёма производства на бесконечно малую величину.

А это не что иное, как предел среднего приращения затрат при стремлении к нулю.

Так вычисляется значение производной функции в точке.

И получается мы получили не что иное, как ещё одно понятие производной, а точнее её экономический смысл.

Значение производной функции в данной точке есть предельные издержки производства при данном его объёме.

Таким образом у нас появилась ещё одна трактовка понятия производной к уже имеющимся.

Рассмотрим несколько задач, где рассмотренные нами понятия могут нам понадобиться.

Задача № 1.

Пусть функция затрат при производстве апатитового концентрата имеет вид:

Определить предельные издержки производства при увеличении объёма выпуска на х1 = 2ед. и на х2= 10ед.

7

Решение:

1. Предельные издержки это рост затрат при увеличении объёма производства на 2 ед. и на 10 ед.

2. Но предельные издержки это ещё и значение производной функции в точке.

3. предельные издержки производства составляют 2,5 ден.ед. при росте объёма производства на 2 ед. и 2,17 при росте объёмов производства на 10 ед.

Вопрос: выгодно ли данному предприятию наращивать производство, если уровень затрат не изменится?

Вывод: с ростом производства затраты на каждую следующую единицу продукции уменьшаются, следовательно, в данном случае увеличивать объём производства выгодно.

Задача № 2.

Предприятие производит Х единиц продукции.

Установлено, что зависимость финансовых накоплений от объёма выпуска задаётся формулой.

Определить максимально возможную величину финансовых накоплений.

Вопрос: переведите экономический вопрос задачи на математический язык, или др. словами составьте математическую модель данной задачи.

Ответ: необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции.

Решение:

1) Из экономического смысла переменной определяем, что она должна быть неотрицательной.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут при увеличении объёма производства до100 единиц, достигая суммы 39000 ден. единиц.

Вопрос: выгодно ли наращивать объёмы производства при неизменных прочих условиях?

Ответ: дальнейший рост производства нецелесообразен, т.к. он приведёт к сокращению финансовых накоплений.

Задача № 3.

Цементный завод производит X тонн цемента в день. По договору н должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 тонн цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск не может превышать 90 тонн в день.

Определить: 1) при каком объёме производства удельные затраты производства будут наибольшими ( наименьшими);

2) выгодно ли строительной фирме быть единственным партнёром завода.

Вывод: 1) наибольшая величина затрат на единицу продукции составит 2601ден.единицу при выпуске 49 тонн цемента в день , а наименьшая 920 ден. единиц при выпуске 90 тонн цемента в день.

2) фирме не выгодно быть единственным потребителем цемента, т.к. она переплачивает за товар.

Вопрос: каковы должны быть ближайшие шаги руководства заводом?

Ответ: срочный поиск новых потребителей, иначе завод рискует потерять и тех клиентов, которых имеет.

Задача № 4.

Я хотел подзаработать на продаже газет. На соседнем углу дневной спрос- прямая линия. При этом если цена газеты 12,5 рублей, то газеты не берут вовсе, а больше 50 газет продать не удаётся никогда. Тётя Клава, которая работает в типографии, сказала, что даст мне столько газет, сколько надо за коробку конфет, а Витька, мой конкурент из параллельного класса, сказал, что даст мне 30 рублей, если я вовсе не появлюсь на том углу со своими газетами.

Стоит ли мне начинать продажу газет, если да, то, сколько газет просить, и по какой цене продавать?

Решение.

1) Определим функцию спроса, т.е. определим, по какому закону продаются газеты.

График уравнения, описывающего закон продаж должен проходить через точки (12,5 ; 0) и (0 ; 50), значит это будет линейная зависимость.

Q(P)= kP+b

• при Р = 0 , а Q = 50 получаем, что k*0+b= 50, значит b=50.
• при P = 12,5, а Q= 0 получаем, что 12,5 k+ 50 = 0, значит k = -4
• объём продаж будет выражаться формулой: Q(P) = - 4P+ 50

2) По условию задачи бизнес следует начинать если прибыль будет наибольшей, значит нам следует найти наибольшую величину прибыли ( выручки).

3) Обозначим прибыль через R(P).

4) Найдём наибольшее значение выручки на промежутке (0, 12,5)

Вопрос: мы ответили на вопрос задачи о прибыли от бизнеса?

Ответ: нет, т.к. мы не приняли в расчёт тётю Клаву с её коробкой конфет, а это величина наших затрат, которая повлияет на прибыль.

Итак: начинать бизнес следует, если прибыль от него будет выше суммы предложенной Витькой (альтернативный доход), с учётом купленной коробки конфет.

Если цена конфет будет выше 156.25-30=126,25 рублей, то дело не будет выгодно.

Вывод: бизнес следует начинать, если цена коробки конфет будет меньше 126, 25 р., брать25 газет и продавать по 6,25р.

1. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа
2. При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.
3. Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.
4. Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических.
5. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.

Информационные источники

1. Учебник по алгебре 11 класс. Авторы: С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.
2. Ресурсы Сети Интернет.