1. Элементарные функции в математике и производственные функции

Элементарные функции – это функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: алгебраические (степенная функция с любым действительным показателем) и трансцендентные (показательная,логарифмическая,тригонометрические и обратные тригонометрические функции).

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции1.

Если переменные y и x прямопропорциональны,то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = kx ,где k - постоянная величина (коэффициент пропорциональности).Графиком является прямая линия,проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k:tg= k . Коэффициентпропорциональностиназываетсятакжеугловым коэффициентом. На рисунке 1(Приложение 1) показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3 .

Если переменные y и x связаны уравнением1-ой степени:A x + B y = C, где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю,то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, тоона проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рисунке 2 (Приложение 1).

Еслипеременные y и xобратнопропорциональны,тофункциональная зависимостьмежду ними выражается уравнением:y = k / x ,где k - постоянная величина.

Графикобратной пропорциональности–гипербола на рисунке 3(приложение 1) .Как показано на рисунке 3, произведение координат точек гиперболыестьвеличина постоянная, в нашем примере равная1.Вобщем случае эта величина равна k, чтоследует изуравнения гиперболы: xy=k.

Основные характеристики и свойства гиперболы:

- область определения функции: x 0, область значений: y0 ;

- функция монотонная (убывающая) при x <0и при x >0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0;

- функциянеограниченная,разрывная в точке x= 0,нечётная,непериодическая;

- нулей функция не имеет.

Это функция: y = ax2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a0. В простейшем случае: b = c = 0 и y = ax2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рисунок 4, приложение 1).

Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется График функцииy = ax2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 и дискриминанта D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения. Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рисунке 5 (приложение 1).

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

- область определения функции: - (т.e. xR ), а область значений:при a> 0,c-b2/4a

- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей.

Это функция:y = axn, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y =ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу.

Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, следовательно, приn = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, то есть её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат.

Все эти случаи (при a = 1) показаны на рисунке 6(приложение 1) (n0) и рисунок 7(приложение 1) (n<0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

теряют смысл.

Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рисунке 8(приложение 1) показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой.

На рисунке 9(приложение 1) представлена функция Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией.Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i . Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3.

Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рисунке 10(приложение 1). Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, то есть функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a> 1 показательная функция возрастает, a при 0

Основные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения функции: - ( то естьxR );

область значений: y > 0 ;

- функция монотонна: возрастает при a> 1 и убывает при 0

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

Функция y = logax, где a – постоянное положительное число,неравное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график на рисунке11(приложение 1) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

- область определения функции: x > 0,а область значений: ->

(то есть, yR );

- это монотонная функция: она возрастает при a>; 1 и убывает при 0 &

- функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

- у функции есть один ноль: x = 1.

При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция y = sinx представляется графиком на рисунке 12 (приложение 1). Эта кривая называется синусоидой.

График функции y = cosx представлен на рисунке 13(приложение 1); это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sinx вдоль оси Х влево на /2.

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: - ;область значений: -1y+1;

- эти функции периодические: их период 2;

- функции ограниченные (|y|1 ), всюду непрерывные,немонотонные,но имеющие так называемые интервалы монотонности,внутри которых они ведут себя, как монотонные функции (смотрите графики на рисунках 12 и13(приложение 1);

- функции имеют бесчисленное множество нулей.

Графики функций y = tgx и y = ctgx показаны соответственно на рисунках 14 и 15(приложение 1). Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период ), неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности, разрывные. Область определения и область значений этих функций:

для

для

Определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комментариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-гокоординатного угла.

Функции y = Arcsinx на рисунке 16(приложение 1) и y = Arccosxна рисунке 17(приложение 1)многозначные,неограниченные;их область определения и область значений соответственно: -1x+1 и-. Поскольку эти функции многозначные,не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsinx и y = arccosx; их графики выделены на рисунках 16 и 17(приложение 1) жирными линиями.

Функции y=arcsinx и y = arccosxобладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: -1 x+1 ;

их области значений: -/2 y/2 для y = arcsinx и 0 yдля y = arccosx;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arcsinx– возрастающая функция; y = arccosx – убывающая );

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsinx и

x = 1 у функции y = arccosx).

Функции y =Arctgxна рисунке 18(приложение 1)и y = Arcctgx на рисунке 19(приложение 1) – многозначные, неограниченные; их область определения: -x+ . Их главные значения y = arctgx и y = arcctgx рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рисунках 18 и 19(приложение 1) жирными ветвями.

Функции y = arctgx и y = arcctgx имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения: - x+;их области значений: -/2< y</2 для y = arctanx и 0 <y< > для y = arccosx;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arctgx – возрастающая функция; y = arcctgx – убывающая);

- только функция y =arctgx имеет единственный ноль (x=0); функция y=arcctgx нулей не имеет2.

Во всяком производстве выпуск продукции происходит за счет затраты тех или иных ресурсов – запасов сырья, оборудования, которое при его использовании постепенно изнашивается, рабочей силы. Эти ресурсы могут измеряться в натуральных (килограммы, человеко-часы, киловатт-часы энергии и так далее) или стоимостных (денежных) единицах.

Назовем ресурсы факторами производства. В результате производственной деятельности происходит выпуск одного или нескольких видов продукции. Рассмотрим случай выпуска одного вида продукции3.

Обозначим факторы производства xi (i = 1,2,…, n), а объем производства выпускаемого продукта – y. Очевидно, что объем производства должен зависеть от количества имеющихся ресурсов. Функция

y=f(x1, x2,…,xn;a1, a2,…am) (2.1)

определяющая эту зависимость, называется производственной функцией. В выражении производственной функции, кроме факторов производства, могут присутствовать также некие постоянные параметры aj (j = 1, 2, …, m).

Если вид функции и значения ее параметров не зависят от времени, то она называется статической. Если с течением времени значения параметров меняются, или же время выступает в качестве самостоятельного фактора, то функция называется динамической.

Кроме того, как в статических, так и в динамических прикладных производственных функциях величины факторов и объема выпуска продукции "привязываются" к определенному конечному интервалу времени – месяцу, кварталу или году.

В теоретических исследованиях удобнее использовать непрерывные производственные функции, в которых эти величины как бы относят к бесконечно малому периоду времени, что позволяет использовать возможности дифференциального исчисления.

Аналогичное соображение можно высказать и в отношении зависимости производственных функций от других факторов – прикладные производственные функции часто дискретны, то есть их факторы могут принимать только определенные значения.

Например, если фактором является численность работников, то его значения могут быть только целыми. Теоретические производственные функции обычно не прерывны. Следовательно, этот могут быть: все элементарные функции за исключением обратной пропорциональности.

Конкретный вид производственной функции и значения ее параметров зависит от

того, какая экономическая система моделируется, и какие цели преследуются при этом моделировании. Процесс выбора формы производственной функции называется ее спецификацией. Выбор может определяться теоретическими соображениями и представлениями об экономических процессах, происходящих в данной системе или делаться на основе экспериментального (статистического) обследования сходных экономических систем.

Определение значений параметров производственной функции называется ее параметризацией. Оценки параметров производственной функции производятся методами регрессионного анализа на основе статистических обследований экономической системы. Например, степенная производственная функция y=a0xa1 (2.2) является однофакторной. Ее параметры положительны; кроме того, обычно в реальных ситуациях a1<1. В таком случае производственная функция имеет вид, показанный на рисунке 1.

Рисунок 1

Из графика видно, что при возрастании объема затрачиваемого ресурса увеличивается и выпуск продукции, что вполне естественно. Однако при увеличении значений х наклон графика падает. Это означает, что с ростом объемов производства каждая новая единица расходуемого ресурса позволяет получать все меньший прирост выпуска продукции. Эта закономерность выражает известный в экономической теории закон убывающей эффективности4.

Двухфакторная производственная функция вида y=a0x1a1x2a2,(a1+a2=1) (2.3) называется производственной функцией Кобба-Дугласа по именам американских экономистов, которые в 1929 г. использовали ее для экономического моделирования.

Схематический график производственной функции Кобба-Дугласа представлен на рисунке 2. Он представляет собой выпуклый "склон", возвышающийся в направлении одновременного возрастания факторов вдоль пунктирной стрелки ОС.

Сечение графика, соответствующее постоянному значению одного фактора, описывается степенной функцией вида (2.2) (линия АВ). Поэтому для каждого фактора в отдельности выполняется закон убывающей эффективности.

Рисунок 2

Важное значение при исследовании многофакторных производственных функций имеет анализ линий уровня, то есть линий, во всех точках которых значение функции одинаково. Они называются изоквантами.

Изокванты производственной функцииКобба-Дугласа показаны на рисунке 3. Они имеют вид гипербол. Увеличение объема выпуска соответствует переходу с линии на линию в направлении «вверх-вправо». Подобный график называется картой изоквант.

Рисунок 3

Анализируя карту изоквант производственной функции Кобба-Дугласа, можно отметить, что один и тот же выпуск продукции может быть достигнут двумя способами – при использовании малого объема первого ресурса и большого объема второго, и наоборот – если использовать большой объем первого ресурса и малый объем второго. Такое свойство производственной функции Кобба-Дугласа имеет наглядное отражение в реальной действительности.

Представим себе, что один из факторов – это численность работников, второй – количество производственных фондов, приходящихся на одного работника (фондовооруженность). Тогда можно видеть, что при малой фондовооруженности для выполнения работы требуется использовать большое число работников – например, рыть котлован силами целой бригады землекопов с лопатами. Если же увеличить фондовооруженность (заменить лопату экскаватором), то для выполнения той же работы понадобится всего один экскаваторщик.

Производственные функции могут иметь различные области приложения. Для микроэкономических производственных функций областью приложения является отдельная фирма, производственный комплекс, отрасль. Макроэкономические производственные функции используются при моделировании региональных и национальных экономик.

Основными факторами макроэкономических производственных функций являются К – объем используемого капитала, и L – затраты труда. Например, для экономики СССР за 1960-1985 гг. по результатам анализа экономических показателей была построена производственная функция

Y=1,022K0,5382L0,4618.(2.4)

Для экономики США за 1950-1979 гг. аналогичная функция имеет вид

Y = 2,1005K0,7986L0,2014.(2.5)

Можно отметить, что объем производства в СССР сильнее зависел от численности работников, то есть затрат труда, чем в США. Это может свидетельствовать о большей доле неквалифицированного труда в экономике СССР.

Производственные функции (2.4) и (2.5) являются статическими. Они не учитывают развитие средств производства вследствие научно-технического прогресса. Учет научно-технического прогресса приводит к появлению в производственной функции множителя видаelt, где t – время,l– положительный коэффициент.