В статье рассмотрено практическое применение межпредметных связей на примере задачи разработки формальной модели и программы определения фрактальных размерностей, а так же построения стохастических фрактальных кривых с заданной размерностью. Демонстрируется использование программы.

На примере алгоритма и реализующей его программы приведены графические результаты моделирования береговых линий в соответствии с заданной фрактальной размерностью.

Демонстрируется использование программы, описаны процедуры.

Автор статьи: Чайка Константин Владимирович, учитель информатики, руководитель кружка МАН.

Содержание

Введение
1. Анализ последних публикаций
2. Описание научно-исследовательской работы учащегося
2.1. Методика определения фрактальной размерности
2.2. Выводы
Заключение
Список литературы

В современном мире необходимы специалисты, способные решать прикладные практические задачи, требующие фундаментальных комплексных знаний, а не только узкоспециальных.

Специфика кружковой работы с одаренными детьми по предмету «Информатика» для учителей школ и руководителей секций Малой Академии Наук Украины заключается в том, что подготовка научно-исследовательских работ учащихся не только выходит далеко за рамки школьного курса информатики, но и при создании любого рода программного продукта требует определенного владения аппаратом ряда других наук.

Следует отметить, что процесс овладения этими знаниями и их систематизация способствуют не только профессиональному самоопределению учащегося, но и дальнейшей успешной учебе в вузе и научной карьере. Это подтверждается десятилетиями работы Малой Академии Наук в тесной связи с высшей школой и тем, что более 300 преподавателей МАН, многие из которых бывшие учащиеся кружков, являются докторами наук.

Проблемы межпредметной интеграции, реализации межпредметных связей являются актуальными для современной педагогики.

Разработкой данных проблем занимались такие авторы, как Берулава М.Н., Гончарова О.Н., Далингер В.А., Деркач Ю.В., Козловская И.М., Левчук Е.В., Максимова В.Н. и другие, высказывая свою точку зрения относительно решения данных проблем.

Межпредметная интеграция способствует активизации, интенсификации, систематизации и оптимизации процесса обучения, а именно:

• углубление взаимосвязей между предметами способствует формированию органичного целостного научного мировоззрения обучающихся;
• обобщение знаний, относящихся к разным наукам, положительно влияет на развитие профессиональной компетентности будущих специалистов;
• согласованное изучение различных учебных дисциплин значительно увеличивает уровень мотивации и познавательного интереса учащегося, побуждает к развитию творческой активности и самостоятельности.

«Процесс интеграции – это определенное взаимопроникновение содержания изучаемых в вузе дисциплин с целью формирования комплексных знаний о различных явлениях окружающего мира.

Благодаря интеграции происходит более глубокое и конкретное постижение закономерностей структур и систем образования» [1 с. 23]

В настоящей статье рассмотрено практическое применение межпредметных связей на примере задачи разработки формальной модели и программы определения фрактальных размерностей, а так же построения стохастических фрактальных кривых с заданной размерностью.

Демонстрируется использование программы, описана формальная процедура определения фрактальных размерностей.

На примере алгоритма и реализующей его программы приведены графические результаты моделирования береговых линий в соответствии с заданной фрактальной размерностью.

2.1. Методика определения фрактальной размерности

При выполнении работы учащимся использованы определения фрактала, хаусдорфовой фрактальной размерности [2], использовались понятия итераций и кривые Безье.

Рис. 1 Определение N(ɛ)

Такое множество называют самоподобным фракталом. Величину d называют фрактальной (дробной) размерностью.

Значение для размерности d находится по формуле:

(1)

Здесь N – минимальное количество квадратов со стороной ɛ, содержащих фрактальную кривую. Существование этого предела означает конечность объема фрактала в D-мерном пространстве: при малом ɛ. [3]

Очевидно, что для обычных множеств это определение приводит к хорошо известным результатам. Так для множества N изолированных точек имеем N(ɛ)=N и поэтому:


Для отрезка достаточно гладкой линии длины L: N(ɛ)=L/ɛ², поэтому d=1.

Для площадки S двумерной поверхности: N(ɛ)=S/ɛ² и d=2 и т.д.

Постановка задачи
Несмотря на долгую историю изучения свойств фракталов, вопросы определения фрактальной размерности встречаются сравнительно редко, в основном, в работах, ориентированных на практическое применение [4 с. 38].

В первую очередь это касается тем, относящихся к физике, биологии, а также САПР. Как показал анализ существующих работ, задача построения стохастической фрактальной кривой с заданной размерностью авторами не рассматривалась. Это подчеркивает актуальность и научную новизну представленной работы, как и факт того, что многие объекты окружающего мира имеют фрактальную природу, например, снежинки, листья, клетки живых организмов, электрокардиограммы, диаграммы фондового рынка [5] и т.д.

Рассмотрение задачи в аспекте её практического применения определило основную гипотезу исследования - учет фрактальной размерности при построении береговой линии будет давать более реалистичный контур береговой линии.

Рассмотрим отрезок, являющийся инициатором участка контура береговой линии, и береговую линию, концы которой совпадают с концами отрезка.

Рис. 2 Инициатор контура береговой линии

Пусть l – длина инициатора, а L-длина контура (Рис. 2). Фрактальная размерность определяется формулой (1). Отсюда получаем
N=(l/ɛ) ͩ

Поскольку L=N ε, получаем формулу:

, при минимальном значении ε=1 пикселю получаем упрощенную формулу: L=l ͩ

На каждой итерации требуется получить точку, лежащую на линии, имеющей заданную фрактальную размерность


Рис. 3 Определение местоположения точки контура

Эта точка разобьет контур L на два контура L1 и L2 (Рис. 3). Поскольку фрактальная размерность контуров L, L1 и L2 одинакова, то для L1 и l1 а также L2 и l2 аналогично:


С учетом того, что L= L1 + L2 , получаем равенство:

(2)

Это уравнение и является условием того, что полученная на каждой итерации точка будет принадлежать какому-то контуру, имеющему заданную фрактальную размерность d.

Длину отрезка l можно вычислить, зная координаты начала (x1,y1) и конца (x2,y2):


Аналогично:

, где (x,y) – координаты точки контура.

Таким образом, уравнение (2) приобретает вид:
(3)

Для нахождения промежуточных точек контура с заданной фрактальной размерностью d, необходимо найти зависимость y(x).

На каждой итерации эти точки должны удовлетворять двум условиям – условию стохастичности (недетерменированности) и принадлежности контуру. Для этого генерируется случайная величина ω, а x вычисляется по формуле: х = ω(х2-х1)+х1

Поскольку ω изменяется в пределах от 0 до 1, то координата х будет лежать внутри интервала (х1, х2). Для выполнения второго условия требуется решить уравнение (3) относительно y. Оно представляет собой трансцендентное уравнение, которое требуется решить численным, а не аналитическим методом. Воспользуемся методом Ньютона. Введем функцию:

Тогда уравнение (3) приобретает вид f(y)=0. Численный анализ исследования поведения функции возле оси абсцисс показал, что она имеет примерно следующий вид (Рис. 4):


Рис. 4

Точки пересечения являются решениями уравнения (3). Таких решений 2 и первое из них ближе к y1, а второе соответственно к y2. Для k+1 итерации по методу Ньютона:

Если в качестве начального значения y0 выбрать координаты y1 или y2 концов инициатора, то мы получим то решение, которое будет ближе к этому концу. Также выяснилось, что для каждого из этих случаев итерируемые точки находятся в разных полуплоскостях относительно прямой, которой принадлежит инициатор. Это важное свойство можно использовать для управления расположением кривой относительно инициатора.

Уравнение (3) симметрично относительно замены координат по Ox и Oy. Это свойство можно использовать, когда угол наклона инициатора приблизительно равен 0° или 90°, т.к. в этих случаях решения для x и для y соответственно не существует.

Получив для исходного инициатора новую промежуточную точку, и соединив отрезками эту точку с концами инициатора, мы получим два новых инициатора. Затем выполняем вторую итерацию, и получаем две новые промежуточные точки, для этих инициаторов. Затем выполняем следующую итерацию, и т.д.

Очевидно, что для компьютерного моделирования кривой, между итерируемыми точками необходимо расстояние более одного пикселя, т.к. через эти точки нужно проводить кривые Безье. Определим, какое максимальное количество итераций потребуется для инициатора с заданной длиной.

Каждая итерация удваивает количество отрезков, поэтому после n итераций мы получим 2n отрезков. Затем для каждой пары точек находятся 2ⁿ управляющие точки, чтобы можно было провести кривую Безье. Это утроит количество отрезков. После этого суммарное количество отрезков будет равно 3×2ⁿ.

Для инициатора длины l среднее расстояние между двумя точками будет равно: l/3x2ⁿ.
При достижении предельного расстояния, равного одному пикселю, получим: l/3x2ⁿ=1 или l/3=2ⁿ.

Прологарифмировав это равенство, найдем n=ln(l/3)/ln2. То есть, максимальное количество итераций, которые не приводят к большим погрешностям и дают требуемое расстояние между точками:


Полученные точки соединяются параметрическими кривыми Безье третьего порядка.


Параметр t принимает значения от 0 до 1. (x1,y1) – координаты начала кривой Безье, (x4,y4) – координаты конца, а (x2,y2) и (x3,y3) – управляющие точки. При соединении кривыми Безье итерируемых точек необходимо, чтобы в точках соединения двух кривых выполнялось условие непрерывности. Для этого обе кривые, где концом первой и началом второй соответственно будет являться заданная точка, должны иметь общую касательную в этой точке.


Рис. 5 Выбор управляющих точек кривых Безье

Построим управляющие точки, находящиеся вблизи i-ой точки. Для этого соединим отрезком i-1 и i+1 точки, затем через i точку проведем прямую, параллельную данному отрезку. Отложим на этой прямой от точки i влево и вправо, отрезки, длины которых должны быть не больше чем половина длины отрезка соединяющего i точку и соседнюю. Концы этих отрезков и будут давать вспомогательные управляющие точки. Координата x2 вспомогательной точки находящейся слева, вычисляется по формуле:

. А координата y2 находится из уравнения прямой:


Для второй точки её координаты x1 и y1 вычисляются по формулам:


Затем переходим к следующей точке и определяем вспомогательные точки для нее и т.д. В этих формулах фигурирует величина v, она характеризует выпуклость кривой Безье, эта величина может принимать любое значение, но в нашем случае не должна быть больше единицы, иначе соседние кривые Безье будут пересекаться и появятся петли. Если положить v равным нулю, то кривые Безье превратятся в отрезки.

Ранее, при описании решения уравнения (3) было сказано, что можно управлять расположением итерируемых точек относительно инициатора. Введем понятие отрицательной фрактальной размерности для стохастической фрактальной кривой.

Таким образом, если фрактальная размерность d положительна, то контур будет располагаться справа от инициатора, а если отрицательна, то слева. Для того, чтобы пользователь в программе мог более гибко управлять моделированием кривой, введем еще один параметр – степень детерминированности фрактального контура. Он определяет количество точек контура, которые пользователь может задать самостоятельно. Очевидно, что степень детерминированности не может быть больше количества итераций.

2.2. Выводы

Меняя параметры: фрактальную размерность d (со знаком), количество итераций, степень детерминированности и величину v, мы можем эффективно управлять контурами.

При увеличении d будем получать более изломанную линию. Уменьшив d, мы можем добиться того, что линия вплотную приблизится к инициатору. То есть, с помощью правильного выбора фрактальной размерности, мы получим оптимальное приближение построенной кривой к реальной линии.

Для проверки и практической демонстрации работы метода была создана программа, позволяющая:

• считать фрактальную размерность для заданного контура;
• строить фрактальную кривую с заданной размерностью для указанного инициатора.

Рис. 6 Определение размерности контура

Рис. 7 Построение фрактальной кривой с заданной размерностью

Из практических результатов можно выявить следующее:

- Проверены данные по определению фрактальной размерности Британии (d≈1,3) (Рис. 8)

Рис. 8 Фрактальная размерность контура острова Великобритания

- Смоделированы фрагменты береговой линии Крымского полуострова

Рис. 9 Смоделированный контур и реальный

- Определены размерности и построены фрагменты береговой линии Австралии.

Проведя анализ степени применимости данного метода для моделирования реальных береговых линий, выявлено, что он справедлив только для относительно больших участков, поскольку не учитывает данные геоморфологии и процессы морфодинамики побережья [6].

Эмпирическим путем удалось смоделировать береговую линию шхерного типа для небольшого участка Финского залива с минимальной абразией берега. Причиной этого служит то, что уровень абразии для небольших участков неодинаков и, следовательно, береговые линии имеют разную фрактальную размерность.

На примере представленной работы можно увидеть, как при подготовке учащимся научно-исследовательской работы были затронуты темы, относящиеся не только к информатике и математике, связь между которыми, в целом, достаточно очевидна, но и физике, географии и др.

Работа была представлена на заключительном этапе конкурса-защиты научно-исследовательских работ и награждена специальным призом жюри. Однако автору не удалось стать победителем из-за низкого результата по базовой дисциплине (математика).

На программу и метод зарегистрировано свидетельство об авторском праве (№ 40492 от 17.10.2011).

Отмечу, что представленная работа выполнялась учащимся не специализированной школы или класса с общим уровнем оценок преимущественно среднего уровня. Ситуация кардинально изменилась в течение года, когда создавалась работа.

Мотивация учащегося, определяемая интересом к разрабатываемой проблеме, позволила эффективно развить познавательный интерес и самостоятельность, умение решать конкретные практические задачи, повлияла на дальнейшее профессиональное самоопределение.

Слабой стороной такого учебного процесса является то, что знания, приобретенные в разных дисциплинах при выполнении научно-исследовательской работы, будучи достаточно глубокими, не охватывают всей базовой программы курса ни одного из предметов.

“Урочные и внеурочные занятия школьников в педагогическом процессе генетически взаимосвязаны и взаимозависимы. Это, к сожалению, не всегда обнаруживают и используют педагоги для повышения качества учебно-воспитательной работы.

Взаимосвязь урочной и внеурочной деятельности педагогов и школьников позволяет успешно интегрировать различные виды и формы нормативных и самодеятельных занятий, изобретаемых участниками педагогического процесса (как в содружестве, так и индивидуально).” [7 с. 11]

Традиционно при обучении школьников считается, что межпредметные связи информатики и географии ограничиваются использованием электронных атласов и разнообразных мультимедийных обучающих средств. Однако, как демонстрирует представленная работа, спектр этих связей намного шире.

В данном случае учащемуся потребовались определенные сведения о геоморфологии морского побережья и процессах его морфодинамики, чтобы определить причины различия моделируемых контуров с реальными на небольших участках, за исключением береговых линий шхерного типа.

Особо следует выделить роль учителя и ученика в организации межпредметных связей. Учитель преподает учащимся знания, выявляет логические связи между отдельными частями содержания, показывает возможности использования этих связей для приобретения новых знаний. Ученик же усваивает эти знания, приобретает индивидуальный опыт познания, учится самостоятельно применять знания. Процесс познания учащимися протекает под руководством учителя.

Многообразие их видов деятельности можно в этом случае объединить в три группы:

• Учащиеся умеют привлекать и привлекают понятия и факты из родственных дисциплин для расширения поля применимости теории, изучаемой в данном предмете;
• Учащиеся умеют привлекать и привлекают теории, изученные на уроках других предметов, для объяснения фактов, рассматриваемых в данной учебной дисциплине;
• Учащиеся умеют привлекать и привлекают практические умения и навыки, полученные на уроках родственных дисциплин, для получения новых экспериментальных данных.

1. Дегтерев В.А. Интеграция в подготовке специалистов социальной сферы в вузе. Фундаментальные исследования. Педагогические науки. ИД «Академия естествознания», 2012 г., Т. I, 6.

2. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах (перевод на русский язык Т.Э. Кренкеля). Москва : Постмаркет, 2000. ISBN 5-901095-03-0.

3. А. Васильев. Лекции для студентов пятого курса Московского Физико-технического института (Факультет проблем физики и энергетики). Лекция №10. Институт Космических Исследований. [В Интернете] 'http://www.iki.rssi.ru/people/avasiliev/lectures/Lecture_10.pdf'.

4. Н.А. Торхов, В.Г. Божков, И.В. Ивонин, В.А. Новиков. Определение фрактальной размерности поверхности эпитаксиального n-GaAs в локальном пределе. Журнал "Физика и техника полупроводников". Российская Академия Наук, Физико-технический институт им.А.Ф.Иоффе РАН, 2009 p., Т. 43, 1.

5. Мандельброт Б., Хадсон Р. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах. Киев : Издательский дом "Вильямс", 2006. 5-8459-0922-8.

6. Кизевальтер Д.С., Раскатов Г.И., Рыжова А.А. Геоморфология и четвертичная геология. Москва : Недра., 1981.

7. В.И. Казаренков. Основы педагогики: интеграция урочных и внеурочных занятий школьников. Москва : Логос, 2003. 5-94010-228-X.