Задача 1. О Кенигсбергских мостах. Город Кенигсберг расположен на берегах реки Прегель и двух островах. Различные части города были соединены семью мостами. По воскресеньям горожане совершали прогулки по городу.

Рассмотрим граф, соответствующий схеме мостов

Проблема семи мостов Кёнигсберга.
Суть: можно ли пройти по 7 мостам города Кёнигсберга, не ступив на каждый более одного раза.

Решение: было найдено русско-немецким математиком Леонардом Эйлером(1736 год).

Его рассуждения заключались в следующем:

1) Число нечётных вершин графа должно быть чётно (теорема 2).
2) Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
3) Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
4) Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Задача 2. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля–Меркурий, Плутон–Венера, Земля–Плутон, Плутон–Меркурий, Меркурий–Венера, Уран–Нептун, Нептун–Сатурн, Сатурн–Юпитер, Юпитер–Марс и Марс–Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

Решение: Нарисуем схему: планетам будут соответствовать точки, а соединяющим их маршруты – не пересекающиеся между собой линии.

Ответ: с Земли до Марса добраться нельзя.

Логические задачи.

Задача 3. В соревнованиях по борьбе, проходящих по олимпийской системе, участвуют 20 борцов. За какое минимальное время можно провести соревнование, если в спортивном зале есть только три борцовских ковра, и на каждую схватку, включая разминку и отдых, отводится час? Изобразите схему соревнований с помощью корневого дерева.

Решение: одна из возможных схем приведена на рисунке.

(приложение 2 рис.2)

Ответ: На соревнование уйдет 7 часов.

Решение: Разобьем монеты на три группы по три монеты. Положим монеты двух групп на разные чашки весов.

Если чашки придут в равновесие, то фальшивая монета — в третьей группе. Если чашки не придут в равновесии, то фальшивая — в более легкой группе. Поиск фальшивой монеты среди троих: положим две монеты на разные чашки весов.

Если чашки придут в равновесие, то фальшивая — третья монета. Если чашки не придут в равновесии, то фальшивая — более легкая монета.

Решение этой задачи легко изобразить в виде графа-дерева, похожего на алгоритм. (приложение 2, рис.3)

Задачи на группу знакомств
Задача 5. Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти в кино. Выбор кинотеатра и сеанса они решили согласовать по телефону. Было также решено, что если с кем-то созвониться не удастся, то поход в кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису. Кто не сумел созвониться и поэтому не пришёл на встречу?

Это первые буквы имён.

Соединим те точки, которые соответствуют именам созвонившихся ребят.

(приложение 2, рис.4)

Задача 6. В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис – с Андреем, Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина – с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

Решение: Получим, что сыграно 7 игр, а осталось – 8. Можно проверить: в графе 6 вершин тогда всего ребер 6*5/2=15 (7+8).

Логическая задача на переливание. В ведре 8 л воды, и имеется две кастрюли емкостью 5 и 3 л. Требуется отлить в пятилитровую кастрюлю 4 л воды и оставить в ведре 4 л, т. е. разлить воду поровну в ведро и большую кастрюлю.

Решение:

Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами (приложение рис.16).

одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.

(приложение 2, рис.5)


Задача 7. Имеется шахматная доска 3x3, в верхних двух углах стоят два чёрных коня, в нижних – два белых (рисунок ниже). За 16 ходов поставьте белых коней на место чёрных, а чёрных на место белых и докажите, что за меньшее число ходов это сделать невозможно.

Решение: Развернув граф возможных ходов коней в круг, получим, что в начале кони стояли так, как на рисунке ниже. А в конце кони должны поменяться местами, при этом каждый конь должен сделать 4 хода, а меньшим числом ходов обойтись не удастся, т. к. кони не могут перепрыгивать через друг друга.

Тогда, передвигая коней в графе, каждый раз перемещая всех коней, как показано на рисунках 1-4, мы получим за 16 ходов белых коней на месте чёрных, а чёрных на месте белых (рис.5). (приложение 2, рис.6)



Примеры задач, решаемых методом графов в приложении 3.