В исследовательском индивидуальном проекте по математике на тему "Загадочный лист Мёбиуса" ученик 12 класса опытным путем исследовал самые неожиданные свойства листа Мебиуса, а также разыскал подтверждение тому, что лента Мёбиуса применяется в различных областях знаний.

В рамках исследовательской работы (проекта) по математике на тему "Загадочный лист Мёбиуса" обучающийся 12 класса пришел к выводу о том, что найденные исторические факты из жизни известного математика, позволили экспериментальным путем подтвердить необычайные свойства листа Мёбиуса и узнать о сферах его применимости.

Оглавление

Введение
1. Основная часть
1.1. Наука топология
1.2. Что такое лист Мебиуса?
1.3. А.Ф. Мебиус и его поразительное открытие
1.4. Опыты с листом Мебиуса
2. Исследовательская деятельность
2.1. Проведение и описание экспериментов
2.2. Практическое применение
2.3. Лист Мебиуса в искусстве, архитектуре
Заключение
Литература

При повторении темы «Геометрические фигуры» на уроке учитель математики принесла обычную прямоугольную полоску и сделала из неё кольцо, имеющую только лицевую сторону под названием лист Мёбиуса и обладающую удивительными свойствами. Так как урок ограничен во времени, было решено изучить историю вопроса во внеурочной деятельности (в математическом кружке) и провести исследование свойств листа Мебиуса в рамках исследовательского проекта.

Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).
Основные этапы исследования:

• постановка проблемы,
• овладение методикой исследования,
• сбор собственного материала,
• проведение опытов и экспериментов.

Цель:
Опытным путем исследовать неожиданные свойства листа Мебиуса. Найти подтверждение применения ленты Мёбиуса в различных областях знаний.

Задачи

• Изучить литературу, в которой авторы рассказывают о таком объекте как «лист Мёбиуса», проанализировать полученную информацию.
• Провести опыты, эксперименты и выявить свойства ленты Мебиуса.
• Установить области применения ленты Мебиуса.

Гипотеза исследования: лист Мёбиуса действительно обладает неожиданными свойствами.

Объект исследования: лист Мёбиуса.
Предмет исследования: свойства листа Мёбиуса.
Методы исследования: эксперимент, моделирование, анализ.

Лист Мёбиуса явлется одним из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем «Резиновая геометрия». Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать-делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства остались неизменными.

С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же. Например, сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.
Топология – одна из наук, результаты исследования которой применяются в математике, технике, экономике.

У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.
Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Лист Мёбиуса назван так в честь немецкого математика А. Мёбиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858г.

Именно открытие листа Мёбиуса дало толчок развитию нового раздела геометрии-топологии. Топология (по-другому: «геометрия положения» или «резиновая геометрия») - это раздел геометрии, изучающий свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания. С точки зрения топологии кружка и бублик неотличимы. Круг, эллипс, квадрат и треугольник обладают одинаковыми свойствами и являются одной и той же фигурой. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.
Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг.

Немецкий геометр, ученик «короля математиков» Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) был первоначально астрономом, как Гаусс. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией приветствовалось. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал ее директором, позже – профессором Лейципгского университета, когда ему было тогда всего 26 лет. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он мог назначить лекцию на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Занимаясь астрономией, Мёбиус много размышлял о математике.

Одним «неожиданным» математическим открытием является лента Мёбиуса. Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогло то ли созерцание лихо завязанного шарфика его домоправительницы, то ли неправильно сшитая служанкой ленточка. В 1858 году лейпцигский профессор послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался ответа, и, не дождавшись, опубликовал результаты

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело, – две стороны.Мёбиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону (до него считалось, что любая поверхность, например, лист бумаги, имеет две стороны). Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству изобретение и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.

В повседневной деятельности нас окружают предметы с внутренней и внешней стороной (двусторонние).. Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Самое же удивительное, пожалуй, то, что сделать её своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначить углы с одной стороны ленты 1 и 2, а с другой - 3 и 4. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о. Точка 1 совпадет с точкой 3, а точка 2- с точкой 4.
И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. Чтобы изучить его свойства, были проведены несколько опытов.

Опыт №1. Вопрос: сколько сторон у этой полоски бумаги?
У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, имеются две стороны. А закрашивая краской ленту в одном направлении. оказывается только одна! Не переворачивая, закрашенной оказалась вся лента целиком потому как поверхность ленты Мебиуса - односторонняя. Вот каким замечательным свойством она обладает.

Опыт №2. Разрезав ленту вдоль, точно посередине, получилась не две, а одна лента.

Опыт №3. Разрезав ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, получилось два кольца – но!- одно большое и сцепленное с ним маленькое.
Вывод: Лист Мебиуса обладает связностью.

Опыт №4 Соединив на листе Мёбиуса любую точку с любой другой точкой получим полную непрерывность.
Вывод: Лист Мебиуса обладает непрерывностью.

Опыт №5. Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, т.е. пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку — но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону. Это значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из «внешности» во «внутренность».

Результат: он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом! А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно «круголистное » путешествие.

Вывод: Лист Мебиуса не обладает ориентированностью.
Опыты показали, простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в волшебную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства такие как односторонность, непрерывность, связность. Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мебиуса.

Что получится, если лист Мёбиуса разрезать вдоль на 3 полоски, 4,5,6,7 полосок? Эксперимент №1
Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски?
Исходный материал — на обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев проводим по две пунктирные линии. Склеиваем лист Мёбиуса. Разрезаем по пунктирным линиям (на 3 полоски).
Результат разрезания – получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое — лист Мёбиуса — состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса.

Эксперимент №2
Исходный материал — лента шириной 5 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 5 полосок).
Результат разрезания – получим 3 кольца: I — лист Мёбиуса — 1 перекрут, ширина 1 см, длина равна длине исходного кольца. II, III — кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа. II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой.
Далее я решила провести эксперименты с разрезанием листа Мёбиуса на 4, 6, 7 полосок и занесла результаты в таблицу.

Результаты экспериментов.

Число разрезаний листа Мебиуса	Что получилось при разрезании листа Мебиуса
	большие	маленькие
2	1	0
3	1	1
4	2	0
5	2	1
6	3	0
7	3	1

Проанализировала табличные данные и заметила, что результаты зависят от чётности числа полосок, на которые разрезали лист Мёбиуса.

Выводы по проведённым экспериментам:

• при разрезании листа Мёбиуса на чётное число полосок получаются только большие сцеплённые кольца, число которых в 2 раза меньше числа полосок.
• при разрезании листа Мёбиуса на нечётное число полосок получаются одно маленькое и несколько больших колец, сцеплённых с маленьким.

Но лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. Чудесные свойства листа Мебиуса привели к новым открытиям и изобретениям: запатентовано множество устройств, например, ремень для заточки, красящая лента для печатающих устройств, ременная передача и другие технические решения.

если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность изнашивается вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это даёт ощутимую экономию. Свойства, которыми обладает лента Мёбиуса можно использовать в швейной промышленности при оригинальном раскрое ткани.

Пружинный механизм детских заводных игрушек чаще всего выходит из строя, потому, что дети нередко пытаются заводить пружину, когда она и так закручена до предела. Кольцевая перекрученная пружина может стать "вечным двигателем" для детских игрушек.
Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с "двух сторон” не меняя их местами.
А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

Кроме этого, по подобию листа Мёбиуса изготовлены различные фильтры, пружины для рулевого колеса штурвалов, низкотемпературные сверхпроводники.
И, наконец, резистор Мёбиуса, который может отменить или уничтожить свое собственное сопротивление.
Но, еще более удивительные открытия ждали нас, когда мы обратились к Интернет- ресурсам. Мы узнали о трех гипотезах, выдвигаемых учеными, связанных с листом Мёбиуса.

3 гипотезы

• Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину биологической смерти – спираль замыкается сама на себе, и происходит самоуничтожение.
• Физики выдвинули гипотезу, что наша Вселенная, вероятно, замкнута в ту же ленту Мёбиуса согласно теории относительности А. Эйнштейна. И тогда можно предположить, что космический корабль, запущенный с Земли, двигаясь по прямой, рано или поздно, вернется к месту старта.
• Физики также утверждают, что все законы оптики основаны на свойствах листа Мёбиуса. В частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, длящийся сотые доли секунды. Ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника.

Лист Мёбиуса применяется:

• в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).
• Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и фокусникам Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений.
• При изготовлении мебели. Стол с одной поверхностью, за которым можно стоять, сидеть и на котором можно удобно лежать. Кресло – кровать, родившееся под девизом «Двойное кресло – двойное удовольствие».
• При изготовлении обуви. Идея туфель такова: кожаный верх туфель и подошва представляют собой единую ленту, закрученную определенным образом.
• Интересная вещь шарф Мёбиуса, появившаяся в гардеробах 21 века. Шарф Мёбиуса можно сделать самому связав концы шарфа, перекрутив на один оборот.
• В бижутерии.
• Лист Мёбиуса считают символом современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим исследованиям.
• Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Лист Мебиуса служил вдохновением для скульпторов, художников и графиков. Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мебиуса II показывает муравьёв, ползающих по его поверхности.

Макс Билл. Скульптура «Узел без конца». Национальный музей современного искусства. Париж.
Скульптура в американском штате Иллинойс.
Аттракцион “Американские горки” напоминает форму листа Мебиуса.
В настоящее время рассматривается проект постройки библиотеки в виде листа Мёбиуса в Казахстане.

Изгибы здания образуют лист Мёбиуса, таким образом, внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

Лестница в немецком городе Дуйсбурге.
Бесконечная лестница в Мюнхене.

Символ вселенной создан в виде ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары…
Иванова Н. Ю.

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.
«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель.
А математика замечательный предмет для удивления

Выводы о проделанной работе:
Исследовательский проект по математике на тему "Загадочный лист Мёбиуса" ученика 12 класса позволил узнать новые исторические факты из жизни известного математика, экспериментальным путем подтвердить необычайные свойства объекта исследования, узнать о сферах его применимости. И что главная ценность объекта исследований состоит в том, что он дал толчок новым гипотезам и открытиям.

1. М.Гарднер «Математические чудеса и тайны». Просвещение,1993
2. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики». Просвещение,1989
3. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел для учащихся. М.: Просвещение, 1996.
4. Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии» 6 класс. Просвещение, 2002
5. Современный словарь иностранных слов.
6. И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Еранжиева «Наглядная геометрия» 5-6 класс. Дрофа, 2000г.
7. Энциклопедия для детей «Математика». Аванта+, 2001г.

1. http://schools.keldysh.ru/sch1905/4
2. http://abursh.sytes.net/rusart/sculpture/etkalo/defaultr.htm
3. http://www.chinara.ru/ex_5.htm
4. http://www.sola.narod.ru/top.htm