При выполнении исследовательской работы (проекта) по математике на тему "Универсальный язык математики в творчестве Леонардо да Винчи" учащийся 10 класса изучил и подробно описал взгляды Леонардо да Винчи на математику, искусство, и их взаимосвязь, а также его вклад в теорию искусства и техники.

В содержании индивидуального проекта об универсальном языке математики в творчестве Леонардо да Винчи учеником 10 класса отражены выводы о том, что наследие Леонардо да Винчи бесценно и интересный материал как для историков и искусствоведов, так и для будущих механиков и техников.

Оглавление

Введение

1. Формирование личности Леонардо да Винчи
2. Не только талант, но и огромное трудолюбие
3. Привычка размышлять
4. Изобретать самому и ценить изобретения других
5. Пусть не читает меня тот, кто не математик
6. Универсальный язык математики
7. Формулы красоты
8. Нескучная геометрия

Заключение
Список используемых источников

История человечества знает множество примеров замечательных личностей: писателей, художников, композиторов, архитекторов, инженеров и ученых. Но были среди них люди еще более интересные, такие, которых принято называть «универсальный человек». Их талант был многогранен, вклад они внесли в самые разнообразные сферы. Особенность таких личностей в том, что они видят мир как единое целое, и все у них взаимосвязано, будь то математика, физика, биология, живопись, архитектура и т. д.

Одним из таких людей по праву считается Леонардо да Винчи. К сожалению, студенты недостаточно интересуются наследием великих ученых, а к математике относятся как к скучной, сухой и не имеющей практического значения науке.

Цель работы: изучение вклада Леонардо да Винчи в теорию искусства и техники, в частности в развитие математического аппарата.

Задачи:

• познакомиться с обстоятельствами формирования личности Леонардо да Винчи;
• изучить имеющиеся сведения о взглядах Леонардо да Винчи на математику и искусство, и их взаимосвязь;
• подготовить презентацию «Леонардо да Винчи о математике и красоте».

Актуальность работы: труды Леонардо да Винчи не утратили своей ценности и в наше время, о них полезно знать будущим механикам и техникам.

Методы исследования: изучение литературы и других источников; анализ ото-бранных фактов и сведений; обобщение.

Практическая значимость работы: презентация может быть использована для демонстрации студентам колледжа в целях расширения кругозора и формирования интереса к изучению математики.

Леонардо да Винчи прожил долгую, для своего времени жизнь, с 15.04.1452 по 3.05.1519. Детство его прошло в деревне у дедушки, но он при этом воспитывался в духе эпохи Возрождения: рисовал, играл на музыкальных инструментах, постигал азы различных ремесел.

В 13 лет Леонардо поступил в ученики к тосканскому мастеру Андреа Верроккьо, который считался лучшим рисовальщиком своего поколения. Молодой художник привлекался к мелкой работе над картинами своего учи-теля, например, прописывал фоновые пейзажи и одежду второстепенных персонажей.

Мастерские того времени называли bottega, что означало магазин или ремесленную мастерскую. Мастерская Вероккьо была маленькой фабрикой по изготовлению произведений искусства. Здесь не только писали картины, но и изготавливали бронзовые, деревянные и терракотовые скульптуры, ювелирные украшения из золота и серебра, кованные изделия, надгробные камни, свадебные шкатулки и прочее.

Ученики могли постигать не только искусство живописи и скульптуры, но и мастерство выделки кожи, основы работы с металлом и химическими реактивами, гуманитарные и технические науки. В мастерской бывали придворные, ученые, писатели. Здесь Леонардо познакомился с людьми, сыгравшими важную роль в его разностороннем развитии.

Одним из таких людей был Паоло даль Поццо Тосканелли — крупнейший итальянский географ, физик и естествоиспытатель, математик и астроном, который сумел разглядеть в юном Леонардо талант устанавливать связи между наукой и искусством, талант, в дальнейшем сделавший этого человека бессмертным в веках.
В 20 лет Леонардо был провозглашен «мастером», превзошедшим своего учи-теля. В 24 года он смог открыть собственную мастерскую.

В 1482 году да Винчи переехал в Милан, где был зачислен в придворный штат герцога Людовико Сфорца в качестве инженера. У да Винчи появилась возможность развить талант архитектора и способности механика. Впрочем, писать картины он не прекращал.

В 1499 году он вернулся во Флоренцию и устроился на службу к герцогу Чезаре Борджия, который рассчитывал на способности да Винчи к созданию военных механизмов. Инженером и архитектором мастер проработал во Флоренции около семи лет, после чего снова вернулся в Милан. Затем какое-то время он прожил в Риме, а последние три года – во Франции.

Известно, что Леонардо очень много работал. Отдыхом для него являлась смена рода деятельности и четырехчасовой сон. Он творил всегда и везде. «Если все кажется легким — это безошибочно доказывает, что работник весьма мало искусен и что работа выше его разумения», — неоднократно повторял Леонардо своим ученикам.

Леонардо считают универсальным человеком. Его можно назвать живописцем — его картины «Тайная вечеря», «Дама с горностаем», «Мадонна в скалах», «Благовещение», «Поклонение волхвов», «Мона Лиза» и многие другие хранятся в лучших музеях мира.

Его также можно считать скульптором — он создавал терракотовые (глиняные) бюсты и рельефы, хотя, к сожалению, до наших дней работы не сохранились. Он мог устраивать веселые балы-развлечения для герцога и пользовался при дворе огромной популярностью. При этом серьезно увлекался анатомией, музыкой, поэзией, изучал механику и математику. Он не был ученым в общепринятом смысле этого слова. Но вклад его во многие науки считается огромным.

Леонардо с юности привык записывать свои размышления и наблюдения, что-бы затем анализировать их и применять полученные знания в своих работах. При нем всегда была записная книжка. Чего только не появлялось в этих книжках-дневниках: рисунки, чертежи, эскизы, заметки, изречения известных людей, философские рассуждения, анекдоты и басни. Всего насчитывается 120 таких книжек.

Леонардо вел дневники для себя, поэтому ни один из них при жизни мастера не был опубликован.
Свои разработки ученый систематизировал, создав так называемые «кодексы» – книги, содержащие записи о тех или иных аспектах науки и техники. Существует, например, «Лестерский кодекс», в котором можно найти описания различных при-родных явлений, а также математические расчеты.

Мало того, Леонардо да Винчи еще имел привычку писать по слуховому методу, то разделял слоги одного слова, то неожиданно слеплял несколько слов в одно. До сих пор не утихают споры о том, зачем ученому понадобилось вести записи именно таким образом. Если учесть необъятность знаний, доступных только специалистам конкретных областей, то становится понятным, почему множество записей не расшифровано до сих пор.

О необходимости теоретических познаний Леонардо говорил: «Те, которые отдаются практике без знания, похожи на моряка, отправляющегося в дорогу без ру-ля и компаса… практика всегда должна быть основана на хорошем знании теории… Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства…».

При этом теорию, не проверенную практикой, он также не признавал: «И если ты скажешь, что науки, начинающиеся и заканчивающиеся в мысли, обладают истиной, то в этом нельзя с тобой согласиться, …потому, что в таких чисто мысленных рассуждениях не участвует опыт, без которого нет никакой достоверности».

Леонардо да Винчи приписывают авторство множества изобретений, которые, на самом деле, были изобретены другими людьми до него. Можно привести не-сколько примеров.
Во многих изданиях можно прочитать, что Леонардо изобрел вертолет. В его тетрадях действительно есть описание и рисунок летающего аппарата, который поднимается в воздух винтом (см. рисунок 5).

Однако британский историк авиации Чарлз Гиббс-Смит считал, что принцип использования вращающегося винта для полета художник не придумал, а подсмотрел: так работали детские вертушки, известные по меньшей мере с XIV столетия. Хотя в XX веке отец вертолетостроения Игорь Сикорский говорил, что на изобретения его вдохновил чертеж Леонардо.

В других источниках можно прочитать, что да Винчи изобрел велосипед. По наброску устройства даже изготовили модель и установили ее в музее Леонардо. Но, во-первых, набросок, как выяснилось, вообще не принадлежит руке мастера, во-вторых, первоначально это были просто две окружности, которые позже кто-то превратил в рисунок «велосипеда».

И все же Леонардо нельзя назвать плагиатором, ведь сам да Винчи на авторство никогда не претендовал, он лишь описывал в своих тетрадях то, что ему показалось интересным и полезным, иногда добавлял собственные иллюстрации. Благо-даря ему многие интересные идеи не потерялись в веках, а дожили до тех времен, когда уровень науки и техники позволил их воплотить в реальности.
 

Леонардо не давал названий своим книгам-кодексам, они произошли от фамилий владельцев, которые купили кодексы после смерти мастера. Сведения о математике встречаются в кодексе Фостера I, кодексе Фостера III, во втором томе Мадридского кодекса, Атлантическом кодексе, кодексе Арундела.

“Пусть не читает меня тот, кто не математик”, — говорил Леонардо. Он считал, что математические науки (арифметика и геометрия) обладают высшей достоверностью. Да Винчи не учился в университетах, так был рожден вне официального брака, и доступ к университетскому образованию был для него закрыт.

Но он самостоятельно изучал законы математики, с помощью которых можно создавать механические конструкции, реалистичные картины, красивую музыку, безупречную архитектуру. “Механика — рай математических наук, посредством нее достигают математического плода”, - говорил Леонардо. Например, когда он изучал крыло птицы, чтобы по его подобию создать летательный аппарат, то в своих дневниках записал: «…птица – действующий по математическому закону инструмент».

Для практического применения математических законов нужны были приборы и инструменты для измерений, черчения, вычислений. Леонардо да Винчи стал изобретателем многочисленных приборов, предназначенных для решений математических задач (пропорциональный циркуль, прибор для вычерчивания параболы, при-бор для построения параболического зеркала, пантограф – прибор для вычерчивания подобных фигур (см. рисунок 9) и др.) Он первый в Италии, а может быть и в Евро-пе, ввел в употребление знаки + (плюс) и - (минус).

В кодексе Форстера I содержится фрагмент, который Леонардо да Винчи назвал “Книга, озаглавленная О преобразовании, т. е. о преобразовании одного тела в другое без убавления или возрастания материи”. Здесь он описал решение задач о преобразовании площадей в равновеликие площади и тел в тела, равновеликие по объему.

Такие задачи вставали перед Леонардо при обработке металла — чеканке, отливке деталей, при работе в качестве скульптора (в частности, при проектировании конной статуи Сфорца), при строительных и гидротехнических расчетах и т. д. «Вся философия начертана в той грандиозной книге, которая постоянно лежит раскрытою перед нашими взорами: я говорю о мироздании.

Но, для того чтобы понять ее, надо предварительно изучить ее язык и письмена. Она написана на языке математики, а письмена ее — треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без знакомства с которыми невозможно понять ни одного слова; без них можно только бес-цельно блуждать в темном лабиринте».

Язык математики помогал да Винчи открывать новые закономерности и в искусстве. Еще в античности ученые подбирали формулы, описывающие пропорции гармоничного строения тела. «Воскрешение» из античности математических пропорций человеческого тела, сделанное Леонардо да Винчи в XV веке, стало фундаментом великих достижений, предшествующих итальянскому ренессансу.

Рисунок «витрувианского человека» был создан Леонардо как иллюстрация для его книги, посвященной одному из трудов Витрувия – знаменитого римского архитектора. Как и сам Леонардо, Витрувий был необычайно одаренным человеком с широчайшими интересами. Он хорошо знал механику и обладал энциклопедическими знаниями. сам по себе является символом внутренней симметрии и природной гармоничности человеческого тела.

Витрувий написал книгу «Об архитектуре», в которой изложил принципы гармонии в архитектуре, а Леонардо да Винчи применил эти принципы к человеческой фигуре. «Витрувианский человек» - рисунок, изображающий фигуру муж-чины в двух положениях. При этом очертания изображений наложены друг на друга и вписаны соответственно в квадрат и окружность. Обе геометрические фигуры имеют общие точки соприкосновения. Это изображение показывает, каким должны быть правильные пропорции тела мужчины.

Леонардо и его друг Лука Пачоли объясняли красоту через гармоничность строения человеческого тела. Под гармоничностью они понимали подчинение размеров и соотношений размеров в теле человека определенным закономерностям, «божественным пропорциям». Например, согласно записям да Винчи, расстояние между глазами равняется длине глаза. Длина глазной щели должна соответствовать расстоянию между внутренними углами глаз и примерно одной восьмой высоте головы. Линия, проведенная через внутренний край радужки глаза, очерчивает границу рта.

Одна из пропорций чаще всех встречается в искусстве. Ее название - «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи, хотя сама эта пропорция была известна и до него, но носила название «золотое деление». Смысл «золотого деления» сводился к следующему: если человеческую фигуру подвязать поясом и отмерить расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней… В некоторой степени это может быть выражено математическим языком в последовательности чисел Фибоначчи:
.
Название «золотое сечение» появилось у да Винчи не случайно. Он много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Если создавать какое-либо изделие, или проектировать сооружение с учетом золотого сечения, т.е. чтобы его части и целое соотносились как 2 к 3, или 3 к 5, или 5 к 8 и т.д., то они будут восприниматься как красивые, гармоничные.
Другое направление применения геометрии в искусстве для Леонардо да Винчи стала разработка теории перспективы. Он был одним из первых художников, писавших пейзажи, сколько-нибудь соответствующие действительности. Из записей Леонардо был составлен «Трактат о живописи».

В нем Леонардо пишет: «Второй пред-мет, удаленный от первого, как первый от глаза, будет казаться вдвое меньше первого, хотя бы оба были одинаковой величины», «Если линия, а также математическая точка суть невидимые вещи, то и границы вещей, будучи также линиями, невидимы вблизи. Поэтому ты, живописец, не ограничивай вещи, отдаленные от глаза, ибо на расстоянии не только эти границы, но и части тел неощутимы».

Художник рассказывал о другой перспективе – перспективе красок или, как он называл ее, «воздушной перспективе: «...возьми зеркало, отрази в нем живой пред-мет и сравни отраженный предмет со своей картиной... именно ты увидишь, что кар-тина, исполненная на плоскости, показывает предметы так, что они кажутся выпуклыми, и зеркало на плоскости делает то же самое; картина — это всего лишь только поверхность, и зеркало — то же самое; картина — неосязаема, поскольку то, что кажется круглым и отделяющимся, нельзя обхватить руками, — то же и в зеркале; зеркало и картина показывают образы предметов, окруженные тенью и светом; и то, и другое кажется очень далеко по ту сторону поверхности.

Существует еще другая перспектива, которую я называю воздушной, ибо вследствие изменения воздуха можно распознать различные расстояния до различных зданий, ограниченных снизу одной единственной (прямой) линией... Делай первое здание... своего цвета, более удаленное делай более ... синим, то, которое ты хочешь, чтобы оно было настолько же более отодвинуто назад, делай его настолько же более синим...».
Примеры применения этих и других положений о перспективе можно видеть в его пейзаже «Долина реки Арно».

Да Винчи всегда старался, чтобы картина была максимально правдоподобной. Многие художники для этого делают многочисленные зарисовки объектов в статике, в динамике. Леонардо решил применить математический метод — измерить длину и диаметр ствола и веток, и потом найти правильное пропорциональное соотношение, которым и можно будет руководствоваться при изображении любого лесного великана.

Сделав множество измерений, он выявил одну закономерность. Оказывается, сумма квадратов диаметров всех ветвей дерева на каждой конкретной высоте всегда равна квадрату диаметра основного ствола. Более того, площадь срезов всех ветвей опять-таки на каждой конкретной высоте является постоянной величиной (сколько бы ветвей там ни было) и также равна площади среза ствола.

Но самое интересное заключается в том, что данное соотношение не зависит от вида дерева, то есть выполняется и для дуба, и для березы, и для ели, от его высоты и толщины, а также от условий его произрастания. Не известно, помогла ли это да Винчи правдоподобно изображать деревья, но современные ученые заинтересовались полученной зависимостью.

Согласно модели французского ученого физика Кристофа Элоя, в случае, если суммарная толщина всех веток будет меньше расчетной, то большинство из них при сильных порывах ветра сломаются. А если она будет превышать оптимальную, то переломится сам ствол. И только то, что все деревья следуют "формуле Леонардо", и дает им шанс устоять перед бушующей стихией.

Геометрии Леонардо оказывал предпочтение перед другими разделами математики. Он признавал важную роль числа и очень интересовался числовыми соотношениями в музыке. Но число для него значило меньше, чем геометрия, поскольку арифметика опирается на "конечные величины", тогда как геометрия имеет дело с "бесконечными величинами". Число слагается из отдельных единиц и представляет собой нечто монотонное, лишенное магии геометрических пропорций, которые имеют дело с поверхностями, фигурами, пространством.

Одной из задач, над которой работал Леонардо, является «квадратура круга» - задача построения квадрата, площадь которого равна площади круга. Над этой головоломкой бились Гиппократ, Анаксагор, Динострат, Архимед. Предлагались самые разнообразные способы вычислений и построений. Да Винчи подошел к решению со свойственной ему практической стороны.

Он предложил взять цилиндр, высота которого равнялась бы половине диаметра окружности, обмакнуть его в чернила (можно мысленно) и прокатить по бумаге. Получится прямоугольник, высота которого будет равна половине радиуса, а ширина – длине окружности (см. рисунок 12). Вычислить же площадь прямоугольника и построить квадрат такой же площади – это задача не составляла труда задолго до эпохи Возрождения.

Леонардо изобрел особый инструмент для черчения овалов и впервые определил центр тяжести пирамиды. В эпоху Возрождения многие художники, скульпторы, архитекторы проявляли интерес к правильным многогранникам (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр). Да Винчи предложил оригинальный способ изображения таких фигур – метод жестких ребер и метод сплошных граней (см. рисунок 13). Леонардо создал целую серию иллюстраций для трактата Л. Пачоли "О Божественной пропорции".

Многие идеи Леонардо невозможно было реализовать в его эпоху. Так да Винчи создал несколько проектов летательных аппаратов, пытаясь реализовать в них свои наблюдения за полетом птицы. Но позже выяснилось, что большинство из них на практике работать не будет. Хотя от этого идеи не стали менее ценными для будущих изобретателей. А вот парашют он спроектировать смог.

В 2000 году Адриан Никлас провел опыт, используя парашют, сконструированный в соответствии с указаниями Леонардо (см. рисунок 18). Спуск осуществлялся с высоты в 3000 м. Вес конструкции составил 85 кг. Конечно спуск был более медленными и очень рис-кованным, испытатель для завершения спуска раскрыл дополнительно современный парашют. Но для своего времени это была вполне работоспособная модель.

Один из самых известных технических чертежей Леонардо - самоходная телега. Этот аппарат считается прототипом автомобиля. Самоходная телега могла ехать по прямой и поворачивать. Она двигалась с помощью арбалетного механизма, который через пружины передавал энергию приводам, соединенным с рулём. Задние колёса имели дифференцированные приводы и могли вращаться независимо друг от друга.

Леонардо использовал телегу в театральных постановках. Рукоять поворачивала зубчатое колесо, которое приводило в движение проекторный механизм, соединенный с осью телеги, которая начинала вращать колёса. Работа дифференциала в конструкции привода современного автомобиля основана на этом же принципе. По рисунку Леонардо создана модель.

Интересно проследить, как мысль да Винчи перетекает с геометрических объектов на природные, а затем на механические на примере его художественных экспериментов с так называемым «цветком жизни» (или «семенем жизни»). Принцип построения «цветка жизни» заключается в том, что в центре одной окружности пересекаются шесть других, симметрично вокруг неё расположенных. Сначала мы видим композицию из геометрических элементов.

В результате исследовательской работы (проекта) по математике на тему "Универсальный язык математики в творчестве Леонардо да Винчи" ученику удалось выяснить основные биографические факты о Леонардо да Винчи, особенности его воспитания и обучения, формирования как мастера, познакомиться с его высказываниями о математике, механике и искусстве, изобретениями и изготовленными по ним в наше время моделями. По результатам исследования разработана презентация (см. Приложение).

В результате исследования можно сделать следующие выводы:

1. Леонардо да Винчи не получил регулярного университетского образования, но всю жизнь занимался самообразованием в самых разнообразных областях науки;
2. Леонардо да Винчи изучал и очень ценил математику, понимая ее как при-кладную науку, основанную на знании свойств фигур, т.е. геометрию, и не разделял ее с механикой;
3. Леонардо да Винчи не является автором многих изобретений и правил, при-писываемых ему, но он возрождал забытые знания предков, описывал и ил-люстрировал их, благодаря чему они дошли до потомков;
4. Знание математики помогало Леонардо в творчестве: в изобразительном ис-кусстве, в архитектуре, в музыке, в механике, астрономии, гидравлике.

Главный же вывод исследования заключается в том, что наследие Леонардо да Винчи бесценно и является интереснейшим материалом не только для историков и искусствоведов, но и будущих механиков и техников.
 

1. 1392. Изобретения Леонардо [Электронный ресурс. ]Livejournal. День за днем, книга за книгой. Блог библиотекарей универсальной научной библиотеки Красноярского края.
2. 24СМИ. Леонардо да Винчи [Электронный ресурс].
3. Дживегелов А.К. Леонардо да Винчи: серия «Жизнь замечательных людей» [Электронный ресурс]. Электронная библиотека E-Reading.
4. Естествознание. Расшифровка «кода да Винчи». Математика в природе [Электронный ресурс]. Образовательный портал «Слово». Естествознание.
5. Журнал «Математика» №12/2003. Г. Самойлик. Леонардо да Винчи. [Электронный ресурс].
6. Кодексы Леонардо на выставке «Гений да Винчи» [Электронный ресурс].
7. Леонардо да Винчи [Электронный ресурс]. Википедия – свободная энциклопедия.
8. Леонардо да Винчи [Электронный ресурс]: NAKED SCIENCE (№34, ЯН-ВАРЬ-ФЕВРАЛЬ). Интернет-издание.
9. М. Медянкина. Код да Винчи: 10 мифов о Леонардо. [Электронный ресурс]. Электронная версия журнала «Вокруг света», №12 /2016.
10. Рисунок «Витрувианский человек», Леонардо да Винчи. [Электронный ресурс].
11. ТОП-20 великих изобретений Леонардо да Винчи и что за ними скрывается на самом деле. [Электронный ресурс].
12. Чарльз Николл. Леонардо да Винчи. Загадки гения. СПб: Издательство Азбука-Аттикус, 2017. - 672 С.