При выполнении научно-исследовательской работы по математике на тему "Оригами решает задачи по геометрии" учащаяся 7 класса разобралась в возможности применения оригами для решения геометрических задач и привела подробные примеры различных типов задач с подробным их решением и чертежами.

Подробнее о работе:

Обучающаяся 7 класса в рамках индивидуального исследовательского проекта по математике на тему «Оригами решает задачи по геометрии» изучила понятие "оригами", а также провела опрос среди учащихся 6 и 7 классов я с целью выяснить, знают ли они что такое оригами и где применяются возможности этого искусства.

В содержании исследовательской работы по математике об оригами, которое решает задачи по геометрии, ученицей 7 класса школы отражены выводы о том, что оригами - один из способов решения математических задач, основа различных направлений искусства, логичная и гармоничная форма изучения геометрии.

Оглавление

Введение
1. Решение геометрических задач с помощью оригами.
1.1. Применение оригами к доказательству теорем геометрии.
1.2. Решение задач оригамным методом.
Заключение
Литература

Даже в эпоху электронных рабочих столов и документов, бумага не теряет своей актуальности. Каждый человек наверняка хоть раз в жизни создавал самое простенькое изделие из квадратного листа бумаги — это кораблик или самолетик. А в те времена, когда в магазинах не было такого выбора соломенных шляп и панам, люди летом нередко сооружали себе «пилотку» из газеты. И бумажные кораблики, и пилотка сделаны по принципу «оригами».

Оригами – древнее искусство складывания бумажных фигурок. Появление оригами тесно связано с изобретением техники изготовления бумаги в Китае, но наибольшее распространение оригами получило в Японии и стало значимой частью культурного наследия этой страны. Постепенно оригами распространилось по всему свету и завоевало популярность во многих странах.

Сегодня множество людей во всем мире увлекаются искусством «оригами». Бумажные фигурки делают дети и взрослые, художники и конструкторы. Его даже преподают в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей. Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. Мне стало интересно, как связаны таинственное искусство складывания фигурок из бумаги оригами и давно интересующая нас математика.

Среди учащихся 6 и 7 классов я провела опрос. Для того что бы выяснить, знают ли они что такое оригами и где применяются возможности этого искусства. Получены следующие результаты.

1. Знаете ли вы что такое оригами?

Да – Нет –

2. Увлекаетесь ли вы оригами?

Да – Нет – Иногда –

3. Знаете ли вы об оригамных возможностях при решении геометрических задач?

Да – Нет –

Актуальность: В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Чтобы привлечь внимание учащихся к математике я решила в своём проекте показать, что математика – это творческая наука.

Гипотеза: Я считаю, что применение техники оригами может облегчить решение многих задач.

Цель: Исследовать возможность применения оригами для решения геометрических задач.

Задачи:

• Изучить литературу по технике оригами.
• Систематизировать изученный материал.
• Рассмотреть возможности оригами в решении геометрических задач на построение, доказательства некоторых теорем.

Я просмотрела учебники математики 5-6 классов и геометрию 7 класса на наличие упражнений, предусматривающих работу на перегибание бумаги в ходе процесса выполнения. Таких заданий в учебниках не было. И тогда я начала рассматривать задания, которые можно было бы выполнить оригамным методом.

Оригами – это искусство складывания фигурок из бумаги. Само слово «оригами» происходит от японских слов «ори» - «сложенный» и «ками» - «бумага».

В процессе складывания фигур оригами мы получаем различные геометрические фигуры. Объединение оригами и геометрии дало начало «оригаметрии», которая позволяет решать задачи геометрии с помощью оригами. Роль точек в оригаметрии играют вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов; роль прямых – края листа бумаги и линии сгибов.

Оригами обладает мощным потенциалом в решении геометрических задач на построение. Самые простые построения:

1. построение биссектрисы угла (совмещение сторон угла);
2. построение высоты треугольника (совмещение частей одной стороны);
3. построение середины отрезка (перегибаем лист бумаги).

Задача №1. Доказать, что сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство (с помощью техники оригами).

Вырежем из бумаги треугольник любой формы и перегнем его сначала по линии АВ так, чтобы основание треугольника легло на себя. Перегнув затем треугольник по линиям DH и CQ так, чтобы точки Eи F попали в точку В, получим прямоугольник CQHD и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (1,2,3) составляют в сумме два прямых.

Задача №2. Доказать, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Если совместить точки А и В с точкой С, то теорема доказывается аналогично предыдущей на основе равенства треугольников ∆АМN = ∆СМN и ∆СNК = ∆ВNК. ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4. Тогда ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 = 90°

Задача 1. Дан квадратный лист бумаги со стороной а. Построить отрезки: а/2 и a/4
Решение:
1. Совместить две противоположные стороны квадрата, перегнуть лист. Получаем сгиб 1. От точки касания сгиба 1 и стороны до угла квадрата расстояние равно, а/2
2. Повторить пункт 1, совместить сгиб 1 с параллельной ему стороной, перегнуть лист. Получаем сгиб 2. От угла и до сгиба 2 и от сгиба 2 до сгиба 1 расстояние равно, а/4.

Задача 2. (№37) Точка С – середина отрезка АВ, точка О – середина отрезка АС.
Найдите: АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см.
Решение:

АС = АВ : 2 = 2 : 2 = 1 см
СВ = АВ : 2 = 2 : 2 = 1 см
АО = АС : 2 = 1 : 2 = 0,5 см
АО = ОС => ОВ = ОС + СВ = 0,5 + 1 = 1,5см

Задача 3. (№39) Отрезок, длина которого равна а, разделён произвольной точкой на два отрезка.
Найдите: расстояние между серединами этих отрезков.
Решение: Возьмем лист бумаги. На стороне АВ листа отметим произвольную точку С. Перегнем лист, совместим точки В и С и найдем середину отрезка ВС. Обозначим эту точку М. Аналогично, перегнув лист, найдем середину N отрезка АС. МN – искомый отрезок. Бумага теперь сложена в два слоя. Тогда длина МN равна а : 2 см.

Задача 4. (№83) Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.
Решение: Перегнув лист бумаги, построим два смежных угла АОС и ВОС. Затем совместим сторону ОА с лучом ОС, таким образом построим биссектрису ОМ. Совместим сторону ОВ с лучом ОС, получим биссектрису ОК угла ВОС. Искомый угол МОК. Но так как угол получился двойной (без наложений), то ∠МОК = 180° : 2 = 90° .

Задача 5. (№50) Угол АОВ является частью угла АОС. ∠АОС = 108°, ∠АОВ = 3∠ВОС. Найдите ∠АОВ.
Решение.

Как нам поможет оригами? Возьмем лист бумаги, согнем угол ВОС. Он может быть любым (это задача на вычисление, и мы ищем метод решения). Свернем лист бумаги так, чтобы образовалось еще 3 таких угла. Это угол АОВ. Развернем лист бумаги, всего получилось 4 равных угла (4 части). Тогда 108° : 4 = 27° – одна часть. ∠АОВ = 3 •27° = 81° (рис. 5).

Аналогичным способом можно рассмотреть решение алгебраических задач на части.

№ 6. В книге напечатаны рассказ и повесть, которые вместе занимают 70 страниц. Повесть занимает в 4 раза больше страниц, чем рассказ. Сколько страниц занимает рассказ и сколько повесть?

№ 7. Для приготовления напитка берут 2 части вишневого сиропа и 5 частей воды. Сколько надо взять сиропа, чтобы получить 700 г напитка?
Комментарий: Решение этих задач с помощью оригами аналогично решению задачи №5.

В результате исследовательской работы по математике на тему "Оригами решает задачи по геометрии" гипотеза была подтверждена. В ходе исследования я пришла к выводу о том, что оригами можно считать одним из способов решения математических задач. Закончив свою работу, я поняла, что оригами, как основа различных направлений искусства, является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии.

В результате работы над индивидуальным исследовательским проектом на тему "Оригами решает задачи по геометрии" я увидела на некоторых примерах задач, что многие понятия курса геометрии гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригами.

Оригами может помочь при выполнении геометрических построений, при решении задач и доказательстве теорем школьного курса геометрии. На мой взгляд, применение на практике оригами очень удобно, и это обязательно нужно применять при изучении геометрии и учить этому школьников.
Я думаю, что занятия оригами способствуют развитию пространственного воображения, глазомера, внимания, памяти, фантазии и творческого мышления.
В дальнейшем я продолжу искать задачи, которые можно решать с помощью оригами.

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. – М.: Просвещение, 2014. – 383 с.
2. Белим С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: издательство Аким», 1998. – 66с.
3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2014. – 280 с.
4. Перельман Я.И. Занимательные задачи и опыты. – М.: Книжный Клуб Книговек, 2015. – 496с.
5. Интернет-ресурс https://ru.wikipedia.org/wiki/Оригами

Учитель: Посмотрим, как свойства и признаки параллелограммов помогут нам решить некоторые практические задачи.
У каждого из вас на партах пакет с цветной бумагой и ножницами. Каждая группа вытягивает пакет с заданием и готовит решение.

Ситуация первая: продавец в магазине тканей сложил кусок материи пополам по диагонали, убедился, что получившиеся половинки совпали. Затем сложил по другой диагонали и снова убедился в совпадении. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что кусок имеет форму квадрата?

Ситуация вторая: из листа бумаги неправильной формы необходимо вырезать прямоугольник без использования чертежных инструментов (с помощью перегибания).

Ситуация третья: из прямоугольника вырезать квадрат, сделав при этом только один разрез
Ситуация четвертая: перегнув лист бумаги неправильной формы, вырезать из нее квадрат, сделав только один разрез.

Ситуация пятая: перегнув лист бумаги неправильной формы вырезать из нее ромб, сделав только один разрез