Вследствие итогового индивидуального проекта по математике на тему "Практический смысл интеграла" учащийся 11 класса изучил что такое "интерграл", подробно описал их историю, начало которой относится к античному периоду развития математики и методу исчерпывания, появившегося в Древней Греции.

Подробнее о работе:

В процессе проведения работы над ученическим мини-проектом по математике на тему «Практический смысл интеграла» обучающийся 11 класса развернуто рассказал о применении интегралов в физике, экономике и медицине и архитектуре и о том, каких целей можно достигнуть, используя их.

Содержание индивидуального исследовательского мини-проекта по математике о практическом смысле интеграла ученика 11 класса отражает выводы о том, что интегралы имеют большое практическое значение во многих сферах науки и техники. С их помощью можно решать сложные задачи, анализировать временные ряды и оптимизировать процессы.

Оглавление

Введение

1. Интеграл
2. История интегралов
3. Практическое применение в физике
4. Практическое применение в экономике
5. Практическое применение в медицине и архитектуре

Заключение

Актуальность: многие люди, проходя в школе тему " Интегралы ", не понимают его практический смысл, и хотя он применяется во многих областях, обыватель видит его только как способ решить задание на экзамене.

Цель: изучить материалы и узнать о сферах практического применения интегралов.

Задачи:

• Изучить имеющийся материал
• Отсортировать и проанализировать данные
• Сделать вывод

Методы:

• Изучение и обобщение
• Анализ и синтез

Интегра́л (от лат. integer - букв. целый) - одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:

• о нахождении площади под кривой;
• пройденного пути при неравномерном движении;
• массы неоднородного тела, и тому подобных;
• а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл).

Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие.

Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции.

Метод исчерпывания это набор правил для вычисления площадей и объёмов, разработка которых приписывается Евдоксу Книдскому. Дальнейшее развитие метод получил в работах Евклида, а особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания славился Архимед.

Кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в XVII веке. Это было связано с именами Исаака Ньютона , Готфрида Лейбница, Леонарда Эйлера и ряда других выдающихся учёных, положивших основу современного математического анализа.

В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики.

В конце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические результаты фундаментального значения. Основным здесь было развитие дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, прежде всего связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применения к решению прикладных задач были разработаны в конце XVII века, но основывались на идеях, сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом Иоганом Кеплером.

Интегралы в физике применяются для решения различных задач, например:

• нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении;
• вычисление работы силы, произведённой при прямолинейном движении тела;
• вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины;
• определение силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку.

С помощью интеграла можно решать задачи механики, электродинамики, термодинамики и других областей физики.

В экономике интегралы применяются для анализа временных рядов, оптимизации производства и потребления, а также для решения задач, например:

• Определение объёма произведённой продукции с помощью функции Кобба-Дугласа.
• Нахождение среднего времени, затраченного на изготовление одной единицы продукции.
• Определение дисконтированного дохода за определённый период времени.

В медицине интегралы используются для определения дозы лекарства, необходимой для достижения заданного эффекта, а также для расчёта параметров медицинских приборов и оборудования.
В архитектуре интегралы применяются для расчёта строительных конструкций, таких как балки, фермы и плиты перекрытия.

Интегралы имеют огромное практическое значение в различных областях науки и техники. Они позволяют решать сложные задачи, связанные с измерением объёмов, площадей и других величин, а также анализировать временные ряды и оптимизировать процессы. Понимание практического смысла интегралов облегчает усвоение базовых понятий и применение их в решении реальных задач.