В исследовательской работе и проекте по математике "Формула Пика в геометрии клетчатой бумаги" автор расширила знания о способах вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге, а также нашла рациональный способ нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.

В процессе проведения работы над исследовательским проектом по математике на тему «Формула Пика в геометрии клетчатой бумаги» обучающаяся 8 класса нашла различные методы и приёмы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге, познакомиться с формулой Пика, а также провела эксперимент в 8 «А» классе с целью выявления математических знаний у учащихся при вычислении площади фигур.

Подробнее о работе:

В готовом исследовательском проекте по математике на тему «Формула Пика в геометрии клетчатой бумаги» автор сделала выводы о том, что самым эффективным способом оказалось решение задач по формуле Пика. А тем ученикам, которые недостаточно знают формулы площадей фигур или имеют проблемы с геометрией, эта работа – неоспоримая помощь в подготовке к выполнению таких заданий.

Оглавление

Введение
1. Теоретическая часть
1.1. Применение различных способов нахождения площади фигур на клетчатом поле
1.2. Формула Пика
2. Практическая часть
3. Экспериментальная часть
Заключение
Список источников
Приложение 1. Задание для самостоятельной работы

Однажды на уроке геометрии мы столкнулись с заданием на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Данный тип задач встречается в экзаменационных материалах ОГЭ и ЕГЭ. Решив это задание, я задумалась, а существуют ли другие способы нахождения площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге? Какой способ будет более лёгким и интересным для нас? От своего учителя математики я услышала об интересном методе, в котором используется всего лишь одна формула.

Объект исследования: площадь многоугольников на решетках.

Предмет исследования: способы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге.

Цель: найти рациональный способ нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.

Задачи:

• изучить литературу по исследуемой теме;
• отобрать интересную и понятную информацию для исследования;
• найти различные методы и приёмы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге.
• познакомиться с формулой Пика
• провести эксперимент в 8 «А» классе с целью выявления математических знаний у учащихся при вычислении площади фигур;
• проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Изучив литературу по данной теме, я выделила следующие наиболее рациональные способы нахождения площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге:

Способ 1. Использование формул площадей плоских фигур
Этот способ удобен для стандартных фигур: треугольника, трапеции и т.д.
1. Подсчитывая клеточки и применяя простые теоремы, найти те стороны, высоту, диагонали, которые требуются для применения формулы площади;
2. Подставить найденные значения в уравнение площади.

Способ 2. Метод дополнительного построения

Очень удобен для сложных фигур, но и для простых неплох.
1. Достроить искомую фигуру до прямоугольника;
2. Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника;
3. Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Способ 3. Метод разбиения.

Учитывая 2-е свойство площади: если разбить фигуру на несколько частей, то площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.
1. Чтобы найти площадь многоугольника нужно выполнить дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых можно вычислить по формулам.
2. Сложить площади полученных фигур S = S1 + S2

Знаменитая формула Пика получила своё название по имени автора — австрийского учёного Георга Александра Пика, опубликовавшего её на рубеже XIX и XX веков.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика - Неванлинны, лемма Шварца-Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника.

Формула Пика удивительно красива, и потому является любимой темой популярных публикаций
Изучив основные методы нахождения площади фигур на клетчатом поле мы выяснили, что в этих случаях для каждой фигуры приходится помнить выражение её площади.
Не легче ли использовать одну формулу для всех многоугольников?
Это удобная формула, с помощью которой можно вычислить площадь любого многоугольника без самопересечений с вершинами в узлах клетчатой бумаги.

Формулировка звучит так:
S=B+Г/2-1, где S — площадь многоугольника, В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Например, для многоугольника, изображенного на рисунке, узлы выделяются так:

Итак, необходимо найти площадь многоугольника из рисунка ниже:

По формуле Пика необходимо подсчитать количество точек целочисленной решетки внутри фигуры (синим цветом) и на границах фигуры (красным цветом). Таких точек получается по 10 штук. Дальше площадь рассчитывается по формуле
S = В + Г/2 - 1 = 10 + 10/2 - 1 = 14.

Приведем несколько примеров из заданий ОГЭ на нахождение площадей многоугольников.

Мы решили провести эксперимент для того, чтобы выяснить какой из рассмотренных способов является самым эффективным, т.е. результативным (решение без ошибок) и малозатратным по времени. Рассматривая эти способы на примерах, мы выдвинули гипотезу: самым эффективным будет решение задач по формуле Пика.

Сначала я выбрала 5 задач из КИМов ОГЭ (приложение 1). Используя метод разбиения и метод дополнительного построения, я решила эти задачи. Затем я решила эти же задачи, используя формулу Пика. Результаты эксперимента представлены в таблице

	Затраченное время		Количество ошибок
	Метод разбиения и метод дополнительного построения	Формула Пика	Метод разбиения и метод дополнительного построения	Формула Пика
Кутьина Виктория	9 мин	3 мин	0	0

Затем группе учащихся 8 «А» класса я напомнила и объяснила способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Ученики решали задачи с помощью метода разбиения и метода дополнительного построения. Каждому нужно было решить 5 задач и засечь время их выполнения.
Потом я рассказывала им о формуле Пика, показала на примерах её применение и предложила решить те же задачи, но по формуле Пика (снова засекали время). Результаты эксперимента представлены в таблице.

Общие результаты эксперимента:

colspan="3">Количество уч-ся допустивших ошибки >Б2

	Затраченное время-среднее значение (мин)			Безошибочных работ
	Т1	Т2	Т1/Т2	О1	О2	О1/О2	Б1	Б2/Б1
Группа учащихся 8 "А" класса (8 учеников)	14	5	2,8	6	1	6	2	7	3,5

Индекс 1 – решение задач методом разбиения и методом дополнительного построения,
индекс 2 – решение задач по формуле Пика.

Проведенный эксперимент показал, что:

• Никто из учеников ранее не знал формулу Пика
• 6/8 учащихся допустили ошибки при решении задач известными способами;
• 1/8 учащихся допустили ошибки при решении задач, используя формулу Пика;
• количество безошибочных работ увеличилось в 3,5 раза,
• время, затраченное на решение по формуле Пика, сократилось почти в 3 раза.

В результате моей работы над проектом по математике "Формула Пика в геометрии клетчатой бумаги" я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач, убедилась в их многообразии. Так же я смогла определить, что площадь многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, можно вычислить разными способами и площадь не зависит от выбора способа, а клетка является инструментом для определения площади.

Моя гипотеза подтвердилась: самым эффективным способом оказалось решение задач по формуле Пика. А тем ученикам, которые недостаточно знают формулы площадей фигур или имеют проблемы с геометрией, эта работа – неоспоримая помощь в подготовке к выполнению таких заданий.

Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных. Такой способ нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, можно использовать на ОГЭ и ЕГЭ для решения задач.
Клетчатая бумага позволяет проводить многие геометрические построения, помогает лучше понять и изучить свойства фигур. Упражнения на клетчатой бумаге способствуют развитию интуиции, воображения, памяти, внимания.

1. Решу ОГЭ 2023. Образовательный портал для подготовки к экзаменам – [Электронный ресурс]
2. Татьяненко А. А., Татьяненко С. А. Вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге // Юный ученый. — 2016. — №3.
3. Википедия. Формула Пика. – [Электронный ресурс]
4. Википедия. Пик. Георг. – [Электронный ресурс]
5. Математика? Легко!!! Площади фигур. – [Электронный ресурс]
6. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17. – [Электронный ресурс]

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.