Исследовательская работа "Графики и модули"

В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему "Графики и модули" автором была поставлена цель, исследовать методы построения графиков, содержащих переменную под знаком модуля, составить список заданий, для самостоятельного выполнения при подготовке к экзаменам.

Подробнее о работе:

В ученической исследовательской работе по математике "Графики и модули" автором были рассмотрены существующие методы построения графиков функций, содержащих модули, выяснено, какие из методов наиболее рациональные, установлено, какой из методов менее затратный по времени. В проекте среди основных методов построения графиков с помощью определения модуля были рассмотрены метод симметрии, метод интервалов и метод вершин.

Учебная исследовательская работа по математике на тему "Графики и модули" будет интересна учащимся 9 класса, рассматривает теоретическую базу построения графиков с помощью определения модуля. В работе представлено решение основных примеров, которые могут встретиться в экзаменационном задании. Автор проекта анализирует, какой из предложенных методов построения графиков, наиболее легкий и быстрый.

В исследовательском проекте выдвинута гипотеза о том, что существует метод построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, менее затратный по времени и простой для понимания. В приложении к работе предложены задания для самостоятельного выполнения по теме.

Оглавление

Введение
1. Методы построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.
1.1. Построение графика с помощью определения модуля.
1.2. Построение графика с помощью метода симметрии.
1.3. Построение графика с помощью метода интервалов.
1.4. Построение графика с помощью метода вершин.
Заключение
Литература
Приложение

Понятие «модуль» является одним из основных понятий элементарной математики. Слово «модуль» произошло от лат. modulus — «маленькая мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в других точных науках.

Но исследование и построение графиков функций, содержащих знак модуля, появляется лишь эпизодически, в рамках изучения той или иной темы. Тем не менее, задачи, связанные с построением графиков функций, содержащих знак модуля, часто встречаются на математических олимпиадах, заданиях второй части ОГЭ.

Графический способ представления зависимостей очень удобен для восприятия особенностей и свойств функции, поэтому при исследовании функции всегда желательно представить ее график. Посмотрев на график функции, можно описать её некоторые характерные свойства, перечислить все ее основные особенности, а быть может, и указать формулу, задающую данную функцию.

Я выбрала эту тему, потому что в настоящее время она актуальна и в дальнейшем она поможет мне на экзамене, так как я хочу получить высокую оценку. В учебнике алгебры 9 класса в разделе «Когда сделаны уроки» я увидела тему о построении графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля методом симметрии.

Меня заинтересовало:

1. есть ли другие методы построения графиков функций, содержащих модули?
2. какие из методов наиболее рациональные?
3. какой из методов менее затратный по времени?

Цель работы: исследовать методы построения графиков, содержащих переменную под знаком модуля.

Задачи:

1. Изучить методы построения строить графики, содержащие переменную под знаком модуля.
2. Найти общие подходы к построению графиков с модулями.
3. Разработать продукт заданий для подготовки к ОГЭ по математике.

Объект исследования: функции, содержащие переменную под знаком модуля.

Предмет исследования: механизм построения графиков.

Гипотеза: Я предполагаю, что существует метод построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, менее затратный по времени и простой для понимания.

Считают, что термин «модуль» предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом.

Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число |а| = а.

Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число |а| = - а.

Построение происходит по определению модуля.

В случае вещественного {\displaystyle x}х абсолютная величина, модуль, есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом: {\displaystyle \ |x|={\begin{cases}\ \ x,&x\geqslant 0\\-x,&\ x<0\end{cases}}}

Пример 1

1. Построить график функции у.

2. Построить график функции, смещенный по оси ординат на -3 единицы вниз y -3

3. Построить график функции по определению модуля y

Пример 2. Для того чтобы построить график квадратичной функции у = │х² - 4х + 3│ нужно:

а) если х² - 4х + 3 ≥0,

то построить параболу у = х² - 4х + 3

б) если х² - 4х + 3 ˂0,

то построить параболу у = -х² +4х - 3

Пример 3. Для того, чтобы построить график линейной функции у = │х │ + 2 надо:

1.

Построить график функции у = х для х ≥ 0 и график функции у= - х, для х < 0

2. Поднять график =х на 2 единицы вверх, и получим у = ׀х׀ + 2.

Строим ту часть графика функции, все точки которой имеют неотрицательные абсциссы.

3. По определению модуля наносим положительные значения абсциссы.

Симметрия — это отображение объекта в себя, сохраняющее структуру объекта.

Целесообразно рассматривать построение графиков в следующей последовательности:

у=f(∣x∣); у=∣f(x)∣; у=∣f(∣x∣)∣; ∣у∣=f(x); ∣у∣=∣f(x)∣.

График функции у=f(∣x∣) получается из графика функции у= следующим преобразованием: х≥0 график сохраняется, а при х<0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси Оу.

Пример 4: y= х2+2|х|-3

График функции у=∣f(x)∣ получается из графика у= следующим преобразованием:

Пример 5: у= |- х2 +6х -5|

График функции у=∣f(∣x∣)∣ получается из графика функции у= f(x) следующим преобразованием: строим график функции при х>0, а затем при х<0 строим изображение, симметричное ему относительно оси Оу, а затем на интервале, где f(∣x∣)<0, построить изображение, симметричное графику f(∣x∣) относительно оси Ох.

Пример 6: у= |- х2 +6 êх ê -5|

График ׀у ׀ =f(x) строится следующим преобразованием:

1. Построить график функции y = f(x).

2. Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).

3. Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.

Пример 8: |у| = х2 +6х -5

График функции вида ∣у∣=∣f(x)∣ строится преобразованием.

Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполним построение сначала графика у=∣f(x)∣, а затем множество точек, координаты которых удовлетворяют условию ∣у∣=∣f(x)∣.

1. Строим график функции у= f(x). 2. Часть графика f(x)<0, симметрично отображаем относительно оси Ох. 3. Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох.

Пример 8: |у| =|х -5|

Для построение графиков функции вида у=∣f(x)∣ + ∣f1(x)∣ + ∣f2(x)∣+ ...+ ∣fn(x)∣ можно использовать метод интервалов, при котором координатная прямая разбивается на интервалы и полуинтервалы нулями модулей. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, которое необходимо решить на данном промежутке и получить функцию.

Пример 9: Построить график функции

у= │х + 3│ + │2х +1│ - х

1. Находим нули модулей

А) х + 3=0, х = -3

Б) 2х + 1=0, х= - 0,5

2. Наносим на координатную прямую эти точки и разбиваем прямую на три части

│х + 3│ - + +

│2х +1│ - -3 - -0,5 +

3. Находим значение функции на каждом из интервалов

у = - (х+ 3) – (2х + 1) – х= -х – 3 – 2х – 1 – х = -4х – 4, при х ≤ -3

у = (х+ 3) – (2х + 1) – х= х +3 – 2х – 1 – х = -2х + 2, при -3≤ х ≤ -0,5

у = (х+ 3) + (2х + 1) - х = 2х +4, при х ≥ -0,5

4. Строим на каждом интервале полученные функции.

Метод вершин (Метод расширения области нулей)

Для построения графика функции у=∣f(x)∣ + ∣f1(x)∣ + ∣f2(x)∣+ ...+ ∣fn(x)∣ можно применить метод вершин:

1. Найти нули каждого подмодульного выражения

2. Составить таблицу, в которой кроме нулей записать по одному значению аргумента слева и справа

3. Нанести точки на координатную плоскость и соединить последовательно

Пример 10:

Построить график у=׀х+2׀ + ׀х-1׀ – ׀х-3׀

Найдем нули подмодульных выражений: -2; 1; 3

Составим таблицу:

Сравнительная таблица

Решение более сложных, выходящих за рамки школьной программы задач требует дополнительных знаний и умений. В данной работе затронут серьёзный математический вопрос – построение графиков функций, содержащих знак модуля.

В ходе исследовательской работы я рассмотрела теоретический материал по абсолютной величине (модулю) и решила практические задачи. В результате работы над темой я сумела изучить поведения линейных, квадратичных, дробно-рациональных функций. Научилась преобразованию графиков, содержащих переменную под знаком модуля.

Научилась работать в прикладной программе GeoGebra. Также в ходе выполнения работы я экспериментировала с построением графиков функций в программе GeoGebra. Гипотеза, которую я ставила перед изучение темы в ходе работы не подтвердилась, т.к для разных видов функций, содержащих переменную под знаком модуля, лучше применять разные методы построения. Т.е. одного метода, который самый мало затратный по времени для всех функций, содержащих переменную под знаком модуля, я не нашла.

Данная исследовательская работа может быть использована учащимися для самоподготовки и самоконтроля при подготовке к экзаменам. Применение разработанной мною темы, поможет мне решить задания из второй части ОГЭ и выбрать наиболее удобный способ, который сэкономит мое время на экзамене.

1. Алгебра:9 класс: дидактические материалы: пособие для учащихся/ А.Г.Мерзляк, В.Б. Полонский и др. – М.: Вентана-Граф, 2017г.
2. Математика. Подготовка к ОГЭ в 2018г. Диагн. работы.-М.: МЦНМО, 2018.
3. Прикладная программа GeoGebra.
4. ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ/ И.Р.Высоцкий и др. под ред. И.В. Ященко.- М.: Издательство «Экзамен», МНЦМО, 2019.

Приложение 1. Задания для подготовки к экзаменам

1. Решите неравенство:

а) | х2 + 2х -4| < 4

б) | х2 – 6х| > 7

в) | х +3| (х – 6) ≥ 4х

г) х2 + 9|х| < 10

д) х2 - 4х + 6 > |х+2|

е) |х + 5| + |х -3| ≤ 8

ж) |3,5 +х| - |х-2,5| ≤ 5

2. Решите уравнение:

а) |х| + |х-6| = 8

б) |х+2| + |х-5| = 7

в) |х-1| - |х-7| = 8

г) |3х +1| -|х -4| = 2х – 3

3. Постройте график функции у = х2 -3|х| -2х и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

4. Постройте график функции у = х|х| + 3|х| -5х и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

5. Постройте график функции у = х2 - |2х + 1| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

6. Постройте график функции у = ½ (|х/3 – 3/х| + х/3+3/х) и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

7. Постройте график функции y = |x2− x −2|. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?