Индивидуальный творческий проект по музыке на тему "Взаимосвязь математики и музыки" позволяет рассмотреть и сравнить детям в 9 классе разнообразные математические способы написания музыки. Также дает определить самый эффективный из них, а также при помощи каждого способа попытаться составить музыкальное произведение самостоятельно.

В содержании исследовательской работы (проекта) о взаимосвязи математики и музыки ученицей 9 класса отражены выводы о том, что данные две области, кажутся сначала независимыми, но при этом они переплетены. Математика - основа для понимания музыкальных структур и гармонии, а музыкальные произведения часто иллюстрируют математические концепции.

Оглавление

Введение
Глава 1. Теоретические аспекты связи между математикой и музыкой.
1.1 Музыкальная система Пифагора.
1.2 Диатонический строй
1.4 Матрица Булеза и магический квадрат Меркурия.
Глава 2. Практическое применение математических способов для написания музыкального произведения.
2.1 Сочинение музыки с помощью Матрицы Булеза.
2.2 Сочинение музыки с помощью Магического квадрата Меркурия.
Заключение
Список литературы
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4

Музыка - это вид искусства, передающий авторское настроение, ценности, мысли и чувства с помощью звуков. Это одно из главных проявлений культуры человечества, охватывающее все страны и эпохи. Она вдохновляет на творчество, помогает в ежедневной рутинной работой. Но далеко не все знают о том, что математика и музыка очень тесно связаны между собой.

Основы музыки – математика и физика, сама по себе, отдельно от них, она не существует. Математика используется при анализе музыки и описывает множество ее аспектов: отношение между звуками в аккорде, резонанс, секреты партитуры и даже музыкальные игры.

Учась в музыкальной школе, я заинтересовалась связью между музыкой и математикой и поняла, что у них есть много общего. Более того, этой связи нашлось применение. В результате длительного взаимодействия математики и музыки, родился новый её тип – электронная музыка. Сочиняя такую музыку, композиторы отталкиваются от математических правил, понятий и расчётов. С каждым годом электронная музыка развивается и набирает всё большую популярность.

Актуальность данной темы заключается в том, что музыка помогает в изучении математики и, наоборот, математика помогает изучать музыку. Эти две науки тесным образом связаны друг с другом. Занятия музыкой развивают мышление, в том числе пространственное и абстрактное, которое необходимо при изучении математики. Математику применяют для анализа высоты звука, хронометража и структуры музыки, а также таких её элементов, как темп, последовательность аккордов, форма и метр.

Цель данной работы: взглянуть на математическую природу музыки, продемонстрировать музыку с малоизвестной стороны. Исследовать разные способы написания музыки математическими методами и выделить наиболее эффективный.

Для достижения данной цели, необходимо выполнить следующие задачи:

1. Изучить различные источники по данной теме;
2. Рассмотреть и сравнить разные математические способы написания музыки, выделить наиболее эффективный;
3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию;
4. С помощью каждого способа попробовать составить собственное произведение и выбрать самое гармонично звучащее произведение.

Объект исследования: связь между музыкой и математикой.
Предмет исследования: математические методы написания музыки.

Методы исследования: анализ различных источников информации, эксперимент по написанию музыкального произведения с использованием полученных способов, сравнение и анализ найденных способов.

Начиная исследования музыкального строя, обратимся к страницам истории, а именно – к истории Древней Греции. В Элладе зародились такие понятия как мелодия и ритм, гамма и лад, тембр и гармония. Именно в Греции жил выдающийся ученый Пифагор – великий математик, творец акустики, основоположник теории музыки. Выдающаяся личность этого ученого дала начало тому, что ныне популярно среди всех слоев общества – музыке. Именно математика является тем пифагорейским музыкальным стартом, что определил на столетия вперед судьбу европейской музыки.

После Пифагора многие музыканты и ученые посветили себя поиску идеального звучания инструмента. В XVIII веке была создана музыкальная акустика. Теперь музыку невозможно отделить от математики, ведь математическая теория струны доказывает, что любой музыкальный инструмент всего лишь «физико-акустический прибор». Все в музыке можно изучить с помощью точных наук, все подвержено математическому анализу: и тембр, и звук, и лад, и гармония. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую можно выразить в терминах математики, и музыка не исключение.

Пифагор, слушая звучание медных чаш, создал свою математическую теорию музыки. Начиная с него, математики начали проявлять интерес к музыке. Теория Пифагора была первой у греков. Результатом усердной работы лучших умов стало создание логарифмически-равномерной двенадцатитонной музыкальной школы – это итог современной деятельности учёных и музыкантов. Первым возможности равномерно-темперированного строя продемонстрировал Иоганн Себастьян Бах: он сочинил 48 прелюдий и фуг во всех возможных тональностях и поместил их в два сборника, которые называются «Хорошо темперированный клавир».

Любовь к искусству, в частности к музыке появилась у Пифагора в годы его ученичества у старца Гермодаманта. Молодой Пифагор проводил дни, слушая мелодии кифары и гекзаметры Гомера. Эту любовь к поэзии Гомера и к музыке он сохранил на всю жизнь. Уже в зрелом возрасте, будучи мудрецом и основав собственную школу, ученый прививал любовь к музыке и своим ученикам. Это был один из четырех предметов школы Пифагора. Согласно преданию, сам мудрец обнаружил, что приятные слуху созвучия – консонансы, т. е. созвучия, получаются лишь в том случае, когда длины струн относятся как целые числа первой четверки, т. е. как 1:2, 2: 3, 3:4. Именно это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе.

В основу своей школы Пифагор положил несколько учений, одним из которых было такое: музыка есть отношение чисел в звуках. Именно в его школе получила свое первое оформление математическая теория музыки. Пифагором был открыт закон целочисленных отношений в консонансах. Это означает, что, если зажать струну в целом соотношении, например, посередине, на треть, на четверть и так далее, то получившийся звук будет более приятен слуху, чем тот, который получился бы при дробном соотношении длин струны.

В ходе экспериментов с монохордом, Пифагор зажимал струну в различных отношениях. Ученый заметил, что в зависимости от того, делишь ли струну на три, четыре пять и более равных частей, в результате получаешь разные по количеству колебаний, а, следовательно, и по высоте звуки.
Ученый расположил их по высоте, а крайние назвал октавой. Внутри октавы выстроились по порядку 8 звуков – ступенек. Этот ряд звуков получил название Пифагоров звукоряд. К сожалению, система Пифагора не была идеальной, в ней существовали свои изъяны. В попытках добиться идеального звучания, композиторы, музыканты и ученые попытались внести поправки в систему греческого мудреца.

Как результат, человечество получило натуральный, или по-другому диатонический строй, а позже перешло к попыткам равномерно темперировать звучание инструментов. Особая необходимость в таком строе появилась тогда, когда появились музыкальные инструменты с закрепленной высотой звука (примером такого инструмента является клавесин, предшественник современного фортепиано).

Как следствие долгих трудов и исканий был получен равномерно темперированный строй. Именно древнегреческие ученые определили два основных интервала (октаву и квинту), на которые долгое время опирались люди при настройке музыкальных инструментов. Учитывая этот факт, нет ничего удивительного, что первый общепринятый музыкальный строй принято приписывать пифагорейской школе, а иногда и самому Пифагору.

Последователи пифагорейской школы изучали музыку на основе звуков, издаваемых единственной струной музыкального инструмента, называемого монохордом. Длина струны монохорда изменялась подобно тому, как гитарист зажимает струны при игре на современной гитаре. При изменении длины изменялась звучащая нота: чем короче струна, тем выше нота. Пифагорейцы попарно сравнивали звуки, соответствовавшие различным длинам струны.

В своих экспериментах они описывали соотношения длин сторон, выражаемые небольшими числами: они делили струну пополам, в соотношении один к двум, два к одному и так далее. Результаты оказались удивительными: звуки, издаваемые при колебаниях струн, длины которых выражались небольшими числами, оказывались самыми приятными, то есть самыми гармоничными. На основе этих наблюдений пифагорейцы создали математическую модель физического явления, в которой при этом учитывалась и эстетическая составляющая.

Простейшее соотношение образуется, если зажать струну ровно посередине. Это отношение в численном виде записывается как 2:1 и соответствует интервалу в одну октаву (интервал от ноты «до» до следующей «до»). Если прижать струну в точке, отстоящей от ее конца на четверть длины, что в численном виде записывается как 4:3, получится интервал, известный под названием кварта (интервал от ноты «до» до ноты «фа»).

Исходя из своих предположений, Пифагор создаёт свой первый общепринятый музыкальный строй – Пифагорейский строй. В основе этого строя лежат простые отношения между различными звуками. В качестве «фундамента» выступают два интервала: квинта, имеющая соотношение 3:2 и октава, с соотношением 2:1. Представление данного строя в виде квинтовой цепи сложилось в эпоху западноевропейского барокко.

Обычно представляется в виде последовательности квинт (или кварт), например так (цепь из 6 квинт от звука фа):
F — C — G D — A — E — H или в виде диатонической гаммы:
Пифагорейский строй господствовал в музыке вплоть до шестнадцатого века. Ныне он практически не используется, только музыкальные теоретики используют данный строй, когда описывают интервалы. В западной музыке пифагорейскому строю приписывается роль основы не только для античной монодии, но также и для полифонической музыки Средневековья.

Несовершенство пифагорейского строя выражается в так называемой пифагорейской комме. Проблема заключается в следующем: при настройке инструмента пифагоровым строем, неизбежно появляется «волчья» квинта – соотношение звуков, которое меньше квинты на одну пифагорову комму.

Это основная причина, по которой пифагоров строй ныне практически не используется. При попытке транспонировать музыкальное произведение также возникали сложности с нечистыми квинтами. Из-за своих недостатков, пифагорейский строй выходит из употребления в шестнадцатом веке, а человечество, в поисках более чистого звучания музыки, переходит к новому типу строя – к диатонике.

Диатоническими называют любые интервалы и аккорды, которые могут быть образованы из звуков диатонического звукоряда. В число диатонических интервалов входят:

• Чистая прима (и чистая октава);
• Малая секунда (и большая септима);
• Большая секунда (и малая септима);
• Малая терция (и большая секста);
• Большая терция (и малая секста);
• Чистая кварта (и чистая квинта);
• тритон (представлен в виде увеличенной кварты или уменьшённой квинты).

Диатоника как интервальная система представляет собой категорию гармонии. «Материальной» (акустической) основой диатоники (впрочем, как и всякой другой интервальной системы) на протяжении столетий служили разные строи — начиная с пифагорова (построенного на чистых квинтах, по которым как раз и можно расположить все диатонические ноты, с соотношением частот 3 к 2) и продолжая чистым, равномерно темперированным и др. При этом музыкально-теоретическая классификация интервалов как диатонических не зависит от того, какой строй лежит в основе той или иной музыки.

Диатоническими считаются песнопения григорианского хорала и русского знаменного распева, русские народные песни, а также песни многих народов Европы. Диатоничны звукоряды натуральных ладов, которые многообразно использовались в европейской многоголосной модальной и тональной музыке. Квинто-терцовая диатоника лежит в основе классической функциональной мажорно-минорной тональности. Основные звукоряды мажора и минора также диатоничны.

Диатоники могут быть неполными, или «олиготоновыми» (от греч. ὀλίγος, здесь — «недостаточный», «малочисленный»). Диатонические олиготоники (2—4 звука) и мезотоники (5—6 звуков) рассматриваются как часть диатонического звукоряда условно, так как они не образуют семиступенных систем и, можно сказать, удовлетворяют определению не до конца. Пример шестиступенной олиготоники — гексахорд Гвидо Аретинского (на нём основан католический гимн «Ut queant laxis»).

Недиатонические элементы могут образовываться не только с помощью введения в диатонику элементов хроматики, но и смешением разнородных диатонических элементов в одновременности и в последовании (полидиатоника миксодиатоника).

Академические композиторы, начиная с XIX века (Григ, Шопен, Мусоргский, Римский-Корсаков и др.), использовали диатонику для придания музыке особого колорита (как разновидность модализма) «архаичности», национальной «экзотичности», некой «природной чистоты», нетронутости и т. п. Примеры: Мусоргский. Опера «Борис Годунов». Хор «На кого ты нас покидаешь» (так называемый эолийский лад); Равель. «Павана на смерть инфанты».

В основе матриц Булеза лежит музыкальный ряд из произведения Оливье Мессиана «Mode de valeurs». Композитор присвоил первым 12 высотам тона целые числа от одного до 12. Этот числовой ряд лёг в основу первой строки и первого столбца P-матрицы. Чтобы получить остальные строки, Булез взял за правило: первая строка матрицы соответствует первому столбцу, вторая строка — второму столбцу и т. д.

Пьер Булез – современный французский композитор, известный благодаря множеству произведений. После окончания Парижской консерватории Булез совмещал сочинительство музыки с дирижёрской деятельностью, причём оркестры под его руководством наиболее часто исполняли произведения композиторов, изучавших взаимодействие математики и музыки (Бела Барток, Вольфганг Амадей Моцарт и др.).

Таким образом, он познакомился с 5 математическим творчеством. Позже математика вдохновило расширение возможностей электронной музыки и рост её популярности. Он начал экспериментировать с электронной музыкой и писать музыку с помощью математики, будучи председателем института IRCAM, занимающегося исследованиями в области акустики и современной музыки. Во время инструментальных концертов оркестра Булеза нередко звучали произведения Оливье Мессиана.

Именно его работа «Mode de valeurs» стала основой для создания математического метода сочинения музыки Булеза – матрицы (объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов, состоящий из совокупности строк и столбцов, на пересечении которых находятся элементы матрицы). Использовав музыкальный ряд из произведения Мессиана, математики присвоил первым 12 высотам тона целые числа от одного до 12. H=1, D=2, A=3 и т.д. Этот числовой ряд лёг в основу первой строки и первого столбца P-матрицы (буквы были присвоены для того, чтобы различат две матрицы).

Чтобы получить остальные 11 строк, Пьер Булез взял за правило то, первая строка матрицы соответствует первому столбцу, вторая строка соответствует второму столбцу и т.д. Чтобы получить Pматрицу, он произвольно изменил порядок чисел в числовом ряду от 1 до 12 (надо понимать, что при составлении своих матриц Булез часто прибегал к экспериментальному пути, исправляя матрицы до тех пор, пока он не смог качественно сочинить с их помощью музыку). Например, числовой ряд случайным образом видоизменили так, чтобы ряд из чисел начинался с цифры 2 (2, 8, 4, 5, 6, 11, 1, 9, 12, 3, 7, 10). Этот ряд был помещён во вторую строку и во второй столбец.

Аналогично Булез составил числовой ряд, начинающийся на 3, 4, 5, 6 и т.п., завершив свою первую матрицу. Далее он поменял местами ноты в строке Мессиана так, что получился приятный на слух и более-менее логичный музыкальный ряд. Потом Булез изменил порядок в ряду из 12 чисел в соответствии с изменёнными нотами. Таким образом, первая строка P-матрицы (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) превратилась в первую строку и первый столбец новой I-матрицы (7,3,10,12,9,2,11,6,4,8,5). При составлении остальных 11 строк Булез поступил так же, как и с первой матрицей. Он экспериментально и произвольно менял порядок чисел в ряду первой строки и записывал во вторую строку и второй столбец новой матрицы.

Таким образом, можно пронумеровать ноты любого произведения согласно P-матрице, а потом изменить произведение, поменяв ноты местами согласно I-матрице. Например, нумеруем первые 12 нот любого произведения соответственно от 1до 12, а затем седьмое число ставим на первое место, третье ставим на второе место и т.п. (соответственно числовому ряду первой строки I-матрицы).

Английский композитор Питер Максвелл Дэйвис начинал композиторский путь, уже вдохновлённый идеей создания математического метода написания музыки. Он во многом брал пример с Булеза. Музыкальные 6 теоретики отмечали родство между работами Максвелла и Булеза середины 50-ых годов. Даже в математический метод Максвелла весьма сильно перекликается с матрицами Булеза.

Когда Максвелл закончил Королевский Манчестерский колледж музыки, ему пришла в голову идея создания музыки с помощью магические квадраты (по структуре они схожи с матрицей Булеза, однако в магическом квадрате сумма цифр каждой строки, столбца или диагонали равна одному и тому же числу). За эту особенность их и называют магическими. Магическим квадратам всегда придавалось большое значение, люди верили в их мистические свойства. До сих пор они используются в различных гаданиях и работе астрологов. Они представляют собой ту же матрицу Булеза, но сумма цифр каждой строки, столбца или диагонали квадрата равняется одному и тому же числу.

Максвелл создал магический квадрат Меркурия (название придумано самим автором), в котором сумма каждой строки, столбца или диагонали равняется 260. Для создания способа написания музыки с помощью квадрата Меркурия, Максвелл использовал средневековое произведение «Veni sancta spiritus», использующееся во время мессы в римской католической церкви (автор неизвестен).

Композитор взял первые восемь нот из этого произведения и поместил их в первую строку и первый столбец своей матрицы (он взял именно восемь нот, чтобы получить матрицу такого же размера, как и квадрат Меркурия). Получилась следующая последовательность: G, E, F, D, F#, A, G#, C. Здесь перечислено восемь нот, четырёх не хватает, чтобы перечислить все ноты октавы. Поэтому Максвелл действовал при составлении матрицы также, как Булез (произвольно-экспериментальное изменение порядка нот) далее действовав так же, как и Булез, однако добавил в последующие ряды недостающие ноты) Получив матрицу, Максвелл начал связывать её с магическим квадратом Меркурия.

Сначала он пронумеровал все ноты в матрице последовательно от 1 до 64. В магическом квадрате Меркурия также расположены числа от 1 до 64, только в другом порядке. Используя это, композитор присвоил каждому числу квадрата Меркурия ту ноту, которая относится к этом числу в матрице Максвелла.

Для того чтобы сочинить своё авторское произведение с помощью способа Максвелла, нужно рассмотреть любое произведение другого автора. Каждую ноту этого произведения нужно найти на матрице Максвелла, а затем найти ноту с таким же расположением в квадрате Меркурия. После этого можно записывать её в своё произведение. Например, я нашла произведение, которое начинается с ноты «до». В матрице она расположена в первой строке последней. В квадрате Меркурия такое же расположение имеет нота «соль». Значит, последнюю я записываю в своё авторское произведение.
 

Сейчас я сочиню своё авторское произведение с помощью изменения уже существующего (матрицами Булеза). Для этого эксперимента я выбрала произведение А. Рамиреса, П. Мориа из телепередачи «В мире животных». Сначала я прописала первую строку 1-матрицы в обратном порядке (5, 8, 4, 6, 11, 2, 9, 12, 10, 3, 7, 1). Затем я изменила порядок чисел в ряду также, как Булез при превращении первой строки Р-матрицы в первую строку 1-матрицы. Поскольку Булез не разработал алгоритм изменения длительностей и тональности произведения, они останутся неизменными.

Я пронумеровала первые 12 нот (до - 1, си - 2, ля – 3, си – 4, до – 5 и т.п.) Затем я изменила расположение этих нот в соответствии с 1-матрицей . Первая нота осталась на месте, вторя стала седьмой и т.д. (получится следующий ряд: до, ре, ля, ми, ля, ре, си, соль диез, до, си, ре, до). Далее я также пронумеровала следующие 12 нот, но в этот раз поменяла их порядок уже в соответствии со второй строкой Р-матрицы (2, 8, 4, 5, 6, 11, 1, 9, 12, 3, 7, 10). Затем я ноту под номером 7 поставила на первое место, а ноту под номером 1 на второе, ноту под номером 10 на третье и т.п. (получится следующий ряд: си – ре, до, си – ре, до – ми, до – ми, соль – си, ля – до, ля – до, си – ре, ля – до, ре – фа, до – ми).

Аналогично я поступила и с третьим рядом, следуя по строкам матрицы Булеза. И смогла получить новое произведение. Сыграв его, я слышу, что звуки между собой гармонируют, фальши нет и три ряда сочетаются во время игры, значит этот математический метод написания музыки действительно рабочий.

Чтобы было удобнее сравнивать полученные авторские произведения, я буду работать с тем же произведением Дмитрия Рябцева. Мы уже узнали о том, что Максвелл связал свою матрицу и магический квадрат Меркурия. Рассмотрим первую ноту произведения - “до”. Получатся две ноты, которые будут записываться в партитуру в виде интервала (созвучие из двух звуков, соотношение двух музыкальных звуков по их высоте). Нота “до” присутствует в первой строке (последняя) и 9 восьмой строке (вторая слева). В магическом квадрате Меркурия первой ноте соответствует нота “соль диез”, второй ноте - “си”

Таким образом, моё произведение будет начинаться с малой терции (соль диез и си) – интервалу, который включает 1,5 тона. Далее выстраиваю каждые интервалы по Магическому квадрату Меркурия. В итоге я получаю собственное произведение, которое, в отличие от системы написания музыки с помощью матрицы Булеза, звучит неприятно и не сливается в гармоничный звук.

Из данных мной двух методов написания музыкальных произведения с помощью математики, я хочу выделить метод с матрицей Булеза. Хоть написанное мною произведение методом Булеза и неидеально (ведь оно экспериментальное), оно вышло приятным на слух, в отличии от метода Магического квадрата Меркурия.

Произведение, написанное методом Меркурия звучит негармонично, много диссонирующих интервалов (неблагозвучное, негармоничное, раздражающее, острое сочетание звуков или аккордов вызывающее неприятные ощущения)
 

В ходе работы над индивидуальным проектом по музыке на тему "Взаимосвязь математики и музыки" и исследования взаимосвязи математики и музыки мы пришли к выводу, что эти две области, на первый взгляд, могут показаться независимыми, но на самом деле они глубоко переплетены. Математика служит основой для понимания музыкальных структур и гармонии, а музыкальные произведения часто иллюстрируют математические концепции. Мы рассмотрели такие аспекты, как ритм, частоты звуковых волн, симметрия и пропорции, которые играют ключевую роль в создании музыкальных композиций.

Анализ различных музыкальных стилей и подходов к композиции показал, что многие великие композиторы, такие как Иоганн Себастьян Бах и Лудвиг ван Бетховен, использовали математические принципы в своей работе. Это подтверждает идею о том, что музыка не только искусство, но и наука, требующая точности и логического мышления.

В ходе исследовательской работы я нашла и ознакомилась с различными источниками информации по выбранной теме, проанализировала и систематизировала полученную информацию, рассмотрела различные способы написания музыки математическими методами, написала свои авторские произведения при помощи каждого способа и выбрала наиболее эффективный.

Изучив эту тему, я узнала много нового, узнала методы написания музыкальных произведений с использованием математики. Математика действительно очень тесно связана с музыкой, однако математические методы никогда не сравнятся с настоящим композиторским талантом. Несмотря на это, математическая музыка сочиняется до сих пор, её качество со временем улучшается, так что её рассвет ещё впереди. Уже сейчас математические методы могут стать опорой для композитора, который может просто доработать и улучшить написанную математическими методами музыку.

Таким образом, наше исследование подчеркивает важность междисциплинарного подхода в обучении и творчестве. Понимание математических основ музыки может значительно обогатить восприятие и исполнение музыкальных произведений. В будущем стоит продолжать изучение этой взаимосвязи, чтобы раскрыть новые горизонты как в математике, так и в музыке, а также вдохновить новое поколение музыкантов и математиков на совместное творчество.

 

1. https://ru.ruwiki.ru/wiki/Пифагоров_строй
2. https://jenyabril.livejournal.com/3776.html
3. https://ru.ruwiki.ru/wiki/Гармонический_ряд
4. https://ru.ruwiki.ru/wiki/Диатоника
5. https://school-science.ru/17/7/52707
6. Оспищева М.П. ВЗАИМОСВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ И МУЗЫКИ // Теория и практика современной науки.
7. Связь между математикой и музыкой [Электронный ресурс] // school-science.ru

Пифагор

Пьер Булез

Произведение, сочиненное с помощью матрицы Булеза

Произведение, сочиненное с помощью Магического квадрата Меркурия