Обучающие программы и исследовательские работы учащихся
Помогаем учителям и учащимся в обучении, создании и грамотном оформлении исследовательской работы и проекта.

Объявление

Наш баннер

Сайт Обучонок содержит исследовательские работы и проекты учащихся, темы творческих проектов по предметам и правила их оформления, обучающие программы для детей.
Будем благодарны, если установите наш баннер!
Баннер сайта Обучонок
Код баннера:
<a href="https://obuchonok.ru/" target="_blank"> <img src="https://obuchonok.ru/banners/banob2.gif" width="88" height="31" alt="Обучонок. Исследовательские работы и проекты учащихся"></a>
Все баннеры...
Тематика: 
Математика
Автор работы: 
Гришин Георгий Георгиевич
Руководитель проекта: 
Дымчук Надежда Миновна
Учреждение: 
МБОУ «Гимназия имени Подольских курсантов»
Класс: 
9

В исследовательской работе и проекте по математике "Функционально-графические методы решения уравнений с параметром: использование плоскости неизвестная-параметр" обучающийся 9 класса систематизирует свои знания о методах исследования математических моделей в виде уравнений, неравенств и систем.

Подробнее о работе:


В процессе проведения исследовательской работы по математике (алгебре) на тему "Функционально-графические методы решения уравнений с параметром: использование плоскости неизвестная-параметр" учащийся 9 класса приводит ряд подробно описанных примеров построения графиков функций на плоскости Оха или Оах и исследует их пересечения с прямыми, параллельными оси Ох.

Оглавление

  1. Задачи с параметром - модели законов окружающего мира.
  2. Решение задач с параметром как развитие навыков исследования моделей.
  3. Функционально-графические методы решения задач с параметром (координатно-параметрический).
  4. Примеры решения.

Список литературы

Задачи с параметром - модели законов окружающего мира

Все процессы в окружающем нас мире подчиняются объективным законам, все величины связаны друг с другом. Эту связь можно описать в виде модели, используя знания современной науки, исследовать модель, в том числе и с помощью программного обеспечения, предсказать ход процесса и этим содействовать, например, созданию новой техники.

Решение задач с параметром как развитие навыков исследования моделей

Решение задач с параметром является средством развития умения исследовать модели различных явлений. Иначе говоря, это способ организации познавательной деятельности. Задачи с параметром обладают высокой диагностической ценностью. С их помощью можно проверить знания основных разделов математики, уровень логического мышления, навыки исследовательской деятельности.

В данной работе не рассматривается процесс создания моделей, здесь изучаются методы исследования математических моделей в виде уравнений, неравенств, систем.

Параметр — это величина, которая может принимать различные значения в зависимости от условий задачи. Он имеет двойную природу. С одной стороны — это константа, число, с другой - значение его неизвестно, может меняться. Значит его можно рассматривать как переменную. Поэтому решение задач с параметрами требует специфического подхода и применения специальных методов. В зависимости от сложности и типа задачи это может быть аналитический метод, графический, исследование свойств функций. В любом случае это анализ различных вариантов с применением знаний математики.

Функционально-графические методы решения задач с параметром (координатно-параметрический)


На профильном экзамене ЕГЭ и вступительных экзаменах в технические вузы большое значение придается умению решать задачи с параметром, так как это является признаком высокого уровня интеллекта и логики, что необходимо для формирования специалиста высокого класса.

Рассматриваемый метод решения уравнения представляет собой графический метод с использованием параметра как переменной, координатных плоскостей Оха или Оах. Ось Ох называют координатной, а ось Оа - параметрической, плоскости Оах и Оха называют координатно-параметрическими.

При использовании этого метода исходное уравнение преобразуют к виду а=f(x), x=f(a) или f(х,а)=0. Далее строятся графики функций на плоскости Оха или Оах и исследуются их пересечения с прямыми, параллельными оси Ох. Количество пересечений прямых с графиком равно количеству корней уравнения, координаты х этих точек - значения корней.

В таких задачах часто возникает необходимость учета ОДЗ в виде неравенств. На координатной плоскости они задают области, тогда графики рассматриваются в соответствующих областях. Не вошедшие в область ОДЗ точки не рассматриваются.
Для наглядности, приведем несколько примеров.

Примеры решения

Пример №1

(х²-2х+а^2-4а)/(х²-а)=0

При каких значениях параметра a данное уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Решение:
Дробь равна 0, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получим равносильную систему:

формула 1


Преобразуем уравнение:
(х²-2х+1)-1+(а²-4а+4)-4=0
(х-1)²+(а-2)²=5


формула 2

Найдем точки пересечения:
формула 3


формула 4


Точки (0;0); (-1;1); (2;4) вырежем из графика.
Построим на координатной плоскости Oxa графики окружности и параболы. (рис. 1)
Для каждого значения a количество решений уравнения определяется количеством точек пересечения окружности с вырезанными точками и прямой, параллельной оси Ox.

Ответ:
формула 5


формула 6


Пример №2


формула 7


При каких значениях параметра a данное уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Решение:
Дробь равна 0, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получим равносильную систему:
формула 8


График первой функции в плоскости Oxa - ломанная прямая, второй - парабола.

Найдем точки пересечения линий:
формула 9

В точках с координатами (1;0); (3;6); (-1;2); (-3;12) числитель и знаменатель заданного уравнения обращаются в 0 одновременно. Построим на координатной плоскости Oxa графики ломанной и параболы, вырежем найденные точки. Остальную часть ломанной исследуем на количество решений заданного уравнения с помощью прямой, параллельной оси Ox. (рис. 2)
формула 10

Ответ:
формула 11


формула 12


Пример №3

формула 13


При каких значениях параметра a данное уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Решение:
Дробь равна 0, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Получим равносильную систему:
формула 14

Преобразуем неравенство:
формула 15

График первой функции - парабола с вершиной в точке (2;4), нули x=0, x=4.

Графики a=x и a=5x - графики прямых, проходящие через начало координат.

Найдем точки пересечения:
формула 16

В точках (0;0); (3;3); (-1;5) числитель и знаменатель заданного уравнения обращаются в 0 одновременно.

Построим параболу и две прямые на плоскости Oxa, вырежем точки их пересечений. Остальную часть параболы исследуем на количество решений, используя прямую, параллельную координатной оси Ox.
(рис. 3)

Ответ:
формула 17


формула 18

Пример №4

формула 19

При каких значениях параметра a данное уравнение имеет ровно 4 различных решения?

Решение:
Преобразуем уравнение в равносильную совокупность систем уравнений и неравенств, раскрыв модуль:
формула 20

Прямая a=x делит координатную плоскость Oxa на две полуплоскости.
На одной выполняется a>x, на другой - a

Для уточнения можно подставить в неравенство координаты любой точки проверяемой полуплоскости.
формула 21


(рис. 5)

Найдем пересечение обоих парабол с прямой a=x:
формула 23


формула 24


Рис. 5

Пример №5

формула 25


Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет корни (хотя бы один), из которых ровно один отрицательный.

Решение:
Заданное уравнение равносильно системе, в которой уравнение получается после возведения обоих частей в квадрат, а неравенства — это ОДЗ обоих квадратных корней.
формула 26

Поскольку подкоренные выражения равны, из двух неравенств выберем одно:
формула 27

формула 28


формула 29


Вершина параболы в т. (-6;-31)

Определим количество точек пересечения с горизонтальной прямой и знаки их абсцисс (х) (рис. 6):
формула 30


формула 31

Пример №6

формула 32

Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет более двух различных корней.

Решение:
Преобразуем уравнение в равносильную совокупность систем уравнений и неравенств, раскрыв модуль:
формула 33


формула 34

формула 35


формула 36

Список использованной литературы

  1. Шестаков С. А. ЕГЭ. Математика. Задачи с параметром. Под ред. И. В. Ященко - М. МЦНМО, 2023 г.
  2. Прокофьев А. А., Корянов А. Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ: решение задач с параметрами. Ростов-на-Дону, Легион 2015г.
  3. Черкасов О. Ю., Якушев Ф. Г. Математика для поступающих в серьезные вузы М. Московский Лицей 1998 г.


Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

Объявление

Статистика