Оглавление

Введение

1. История возникновения
2. Основные понятия и формулы

Заключение

При подготовке к экзаменам я обратила внимание, что во всех экзаменационных работах есть задания, где нужно выбрать один из предложенных вариантов ответа. К тому же, в последнее время учителя всё чаще и чаще дают контрольные работы в виде тестов, особенно по математике.

Некоторые мои одноклассники надеются получить положительные оценки, не имея глубоких теоретических знаний, просто угадывая правильные ответы. Поэтому я решила оценить, насколько такой подход поможет при получении удовлетворительной отметки и как результаты моего исследования по теории вероятностей можно будет практически применить при тестировании.

Цель исследования: определить величину вероятности успешного написания контрольной работы путём угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

Для реализации цели были поставлены следующие задачи:

1. Собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, пользуясь разными источниками информации
2. Провести статистический эксперимент
3. Проанализировать результаты тестовых работ с применением теории вероятностей.

Объект исследования- теория вероятностей
Предмет исследования- результаты тестовых работ по математике, физике, информатике и обществознанию.

Понятие вероятность относится к древним временам. Оно было известно уже античным философам( Платон).Мысль о том, что законы природы проявляются через множество случайных событий, впервые возникла у древнегреческих материалистов. О ней говорится в поэме Лукреция Кара «О природе вещей», важнейшие отрывки из которой цитируются в беседе Паскаля и Митона.

В развитии этой теории также сыграли большую роль задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости. Уже в древние времена эта игра была очень популярна и любима. В 1658 году появилась книга Христиана Гюйгенса «О расчётах в азартных играх», где подробно излагались вопросы, рассмотренные Паскалем и Ферма.

С этой работой связана основная работа Якоба Бернулли «Искусство догадок», которая была опубликована в 1713 году, уже после его смерти. В ней изложен закон больших чисел.
Произведение Монморта «Опыт анализа азартных игр» появилось в 1708 году. Важнейшая работа Абрахама де Муавра «Об изменении случайности, или о вероятностях результатов в азартных играх» была выпущена в 1711 году.

Наряду с задачами азартных игр уже в самом начале возникновения теории вероятностей появились задачи, связанные с составлением таблиц смертности и вопросами страхования. В Лондоне уже с 1592 года велись точные записи о смертности. На их основе в 1622 году Джон Граунт впервые составил таблицы смертности как функции возраста.

Через несколько лет Ван Худде и Ван де Витт в Голландии, проделав аналогичные расчёты, использовали их для вычисления пожизненной ренты. Подробнее эти вопросы в 1693 году были изложены Галилеем.

Для лучшего понимания этой темы познакомимся поближе с некоторыми понятиями
Теория вероятностей- математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных событий
Вероятность- степень возможности наступления некоторого события.

Случайное событие- явление, которое может произойти или не может произойти при осуществлении определенной совокупности условий.
При решении вероятностных задач часто одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Проведем формулировку этой теоремы
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Pkn, того, что событие А наступит ровно k раз в n независимых испытаниях, равна
P kn=C n k -p k -q n-k
Где q=1-p

Для определения вероятности получения положительной оценки при написании тестовой контрольной работы путём угадывания правильного ответа применим формулу Бернулли.

Исследование

Тестовая контрольная работа по математике состоит из 10 вопросов, в каждом из которых 4 варианта ответов, один из которых правильный. Чтобы получить положительную отметку, нужно правильно угадать 8 ответов. Пусть событие А- это правильно выбранный ответ из 4 предложенных.

Тогда вероятность события А является отношением числа случаев, благоприятствующих этому событию( т.е. правильно угаданный, а таких случаев 1) к числу всех случаев ( а их 4). Тогда р=Р(А)=1/4. Следовательно вероятность противоположного события q=1-1/4=3/4.
Тогда вероятность получения положительной оценки равна:
Р 10 (8)= С 10 8 * р 8 * q (10-8)
C 10 8= 10!/8!*2*=45
Р k= (1/4)8
Q(n-k)=(3/4)2
P n k = 45*(1/4) 8*(3/4) 2 =45*0,00002*0,5625=0,0005
Результаты эксперимента
Класс Кол-во участников 1 2 3 4 5 6 7 8 и более
9А 18 7 5 2 1 2 3 1 0
9Б 15 5 6 3 3 0 1 2 0
9В 19 8 3 5 2 0 2 0 0
10А 18 6 8 7 8 6 0 1 0
Итого 70 26 22 17 14 8 6 4 0
Вывод
Только постоянная, добросовестная учёба в школе и дома позволит хорошо подготовиться к контрольной работе и написать её на хорошую оценку.