Публикация материалов

Темы исследований

Объявления

Наш баннер

Мы будем благодарны, если Вы установите наш баннер!
Баннер нашего сайта
Код баннера:
<a href="http://obuchonok.ru/" target="_blank"> <img src="http://obuchonok.ru/banners/banob2.gif" width="88" height="31" alt="Обучонок. Обучающие программы и исследовательские работы учащихся"></a>
Все баннеры...
Исследовательская работа: 
Китайская система счёта

Структура системы счисления

Одна из самых древнейших систем счисления была создана в Китае. Она возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т.д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три или четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять.


Первые пять кратных числа 10 обозначались одной, двумя, пятью горизонтальными палочками, а одна, две, три и четыре горизонтальные палочки, к которым сверху приставлялась вертикальная палочка, означали числа 60, 70, 80 и 90. Для обозначения чисел больше 99 использовался позиционный принцип.

Число 6789 китайцы записали бы так: Обозначения чисел с помощью палочек тесно связано со счетом на пальцах и счетной доске, но применялось оно также и в письменных вычислениях [12].

Во второй китайской системе счисления для обозначения первых девяти целых чисел или символов используют девять различных знаков и одиннадцать дополнительных символов для обозначения первых одиннадцати степеней числа 10. В сочетании с умножением и вычитанием это позволяло записывать любое число меньше триллиона.

Если один из символов, обозначающих первые девять целых чисел, стоит перед (при чтении слева направо) символом, означающим степень числа 10, то первое нужно умножить на второе, если же символ одного из девяти первых целых чисел стоит на последнем месте, то это число надлежит прибавить к обозначенному предыдущими символами.

Таким образом, китайская структура системы счисления имела свои особенности: ярко выраженное вычислительно-алгоритмическое направление, то есть древние китайские математики старались свести к правилу, состоящему из последовательного выполнения некоторого числа шагов.

Китайская нумерация


Китайская нумерация - одна из старейших и самых прогрессивных, так как в нее заложены такие же принципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае [11].

Система счисления - сложное понятие, которое включает в себя все законы, по которым числа записываются, читаются и производятся операции над ними.

Еще в Древнем Китае цифры записывались, начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. Позже был введен знак для пустого разряда – кружок (аналог нуля). Чтобы не перепутать разряды, использовали служебные иероглифы, писавшиеся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде [7; 12].

Запись числа 548 мультипликативна, то есть в ней используется умножение:

1´ 1 000 и 5´ 100+4´ 10+8 (6)

Если один из символов, обозначающих первые девять целых чисел, стоит перед (при чтении слева направо) символом, означающим степень числа 10, то первое нужно умножить на второе, если же символ одного из девяти первых целых чисел стоит на последнем месте, то это число надлежит прибавить к обозначенному предыдущими символами [6].

Таким образом, изначально китайская система счёта была мультипликативной, так как в ней использовалось умножение.

Запись цифр

Известно, что уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. При этом частично использовались следующие по форме цифровые знаки (Рисунок 4).

цифровые знаки

Рисунок 4. Цифровые знаки разных эпох

Запись всех чисел в эпохи Шан-Инь и Чжоу велась с помощью указанных цифр путем их сочетаний. Например, числа 11, 12 и 13 записывались с помощью вертикальной черты и помещенных справа или слева от нее одной, двух и трех горизонтальных.

Числа 20, 30 и 40 записывались как сочетания двух, трех и четырех вертикальных черт, подобных цифре 10, но изогнутых и соединяющихся книзу так, что они образуют знаки в форме вил соответственно с двумя, тремя и четырьмя зубьями.

В чжоускую эпоху те же числа записывались еще как цифра 10, перечеркнутая соответственно двумя, тремя и четырьмя горизонтальными чертами. Таким образом, сочетая в горизонтальной или вертикальной записи, составленные указанным способом цифры, древние китайцы могли записать любое число от 1 до 99 999.

После реформ письменности в эпохи Цинь и Ранняя Хань в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной. Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принципом записи чисел, то есть в ней существуют девять цифр и обозначения десятичных разрядов (Рисунок 5, 1-я колонка).

китайские цифры


Рисунок 5. Китайские цифры

Такого рода нумерацию называют именованной позиционной. Стоит в ней только опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позиционную.

Знак нуля

До сих пор неизвестна точная дата и место появления знака нуля как элемента десятичной системы. По общему мнению историков он возник в Индии во II в. н. э. Нуль обозначался точкой или кружком. Нуль мог возникнуть и в Юго-восточной Азии, являющейся зоной встречи индийской и китайской культур, где он обнаружен приблизительно в то же время, что и в Индии.

В Китае нуль впервые в виде точки встречается в 718–729 гг., но это не произвело на китайскую математику должного действия. Позже китайцы могли заново открыть знак нуля, отталкиваясь от пустых пробелов, оставленных для нуля на счетных досках и в «палочной» записи цифр, которая строится на позиционной системе и используется с эпохи Сражающихся царств.

Первоначально он обозначался в виде клеточки счетной доски, которая затем трансформировалась в кружок. Форма знака нуля могла быть заимствована из китайской философии XI–XII вв., где кружок обозначал «беспредельное, изначальный хаос, ничто».

В любом случае китайские математики XIII века имели в своем распоряжении полностью развитое обозначение нуля.

Китайская письменная форма для нуля - иероглиф «лин», что обозначает «капли дождя», «капли воды, оставшиеся после дождя». По ассоциации это привело к тому, что он стал означать что-то «мелкое», «разрозненное», «остаточное», «добавочное». В области счета этот иероглиф первоначально применяли во фразах типа «одна сотня и пять в добавок», что означало число 105 [2; 12].

Однако, хотя был возможен переход к использованию «лин» для выражения нуля в этом числе, в таком значении иероглиф «лин» не использовался в математических текстах до эпохи Мин.

С другой стороны, у сунских алгебраистов, которые использовали символ «0», легко найти примеры чисел с нулем, записанных так, что в них термин «лин» мог бы применяться. Можно предположить, что символ нуля был назван «лин» со времени его первого широкого использования в эпоху Сун.

Я считаю, что такое использование старого знака возникло не только потому, что он долго означал «остаток», но и потому, что символ «0» по форме напоминает сферическую дождевую каплю.

Большие числа

Для счета древнему китайцу сначала было достаточно четырех разрядов, которые и образовали первый класс: единицы «и», десятки «ши», сотни «бай», тысячи «чень», десять тысяч «вань».

Современные иероглифы для десятков, сотен, тысяч ‒ комбинации единицы с древним иероглифом для этих разрядов (Рисунок 7) и в более поздние времена, «ванъ» употреблялся для выражения неопределенно больших количеств.

большие числа

Рисунок 7. Обозначение больших чисел в Китае

Но наступило время, когда потребовались еще большие числа. Начиная со II‒III вв. до н.э. в Китае стали применять числа, бóльшие ваня (Рисунок 8, столбец 1).

большие числа

Рисунок 8. Большие числа

Иногда это делали, начиная с третьего разряда, но это было неэкономно, и стали использовать для высоких классов порядок построения первого класса, употребляя названия его разрядов, и тогда каждое новое название надо было давать только единицам очередного нового класса 104, 108, 1012... . . . , 1036 (рисунок 8 столбец III).


В эпоху Тан (VII‒IX вв. н. э.) эти системы именовали «большим» и «малым» счетом. Еще более экономный способ построения системы больших чисел состоит в том, чтобы до 108 поступать, как следует по правилам второго столбца таблицы, а далее использовать всякий раз все названия вплоть до 108.

Таким образом, из всего разнообразия систем в Китае утвердилась система, в которой показатели степеней основания составляют арифметическую прогрессию с разностью, равной четырем (рисунок 8 столбец III).

Вычислительные устройства. Узелки и зарубки

Как я уже отмечал, предыстория китайской системы счисления начинается в глуби веков, во время формирования первоначальных математических представлений человека на самых первых этапах его развития. Еще до возникновения письменности существовал устный счет и элементарные способы фиксирования чисел при помощи узлов на веревках и зарубок на дереве. Это было первым примитивным моделированием: замена при счете пальцев рук и ног моделью.

В древнекитайских классических текстах имеются упоминания о подобных способах фиксирования чисел. В знаменитой «Книге перемен» записано: «В глубокой древности пользовались узелками на веревках и управляли (государством), а впоследствии мудрецы заменили их зарубками на дереве» [2, с. 37].

Многие народы недавнего прошлого, не имевшие письменности, прибегали к помощи веревки или дерева.

Хорошо известны в литературе перуанские квипу ‒ узелки на цветных веревках, фиксировавшие долговые обязательства инков.

Существуют свидетельства о древних персах и об индийских племенах прошлого века, обозначавших числа с помощью узелков на веревках; от таких узелков, кстати, произошли четки.

В северном Китае, в Тибете, на островах Рюкю, а также у народности мяо еще в нашем столетии можно было обнаружить квипу у земледельцев .

В равной степени достоверны сведения о зарубках на дереве. Каждому русскому хорошо известна поговорка: «Заруби на носу». Ее происхождение указывает на существование деревянной дощечки, с нанесенными на ней памятными зарубками, которую носили привязанной к поясу. Весьма возможно, что от зарубок на дереве происходят современные китайские цифры 1, 2, 3, а также древнейшие иньские начертания чисел 20, 30, 40. В Китае до изобретения бумаги (в I в. н. э.) на протяжении первого тысячелетия до нашей эры писали на бамбуковых и деревянных дощечках.

Счетные палочки

Во многих источниках [1; 6; 11; 12] указывается, что китайская десятичная позиционная система была связана по своему происхождению со способом вычислений посредством счетных палочек. Сам иероглиф суань 算 - «вычисление» - восходит к древней пиктограмме, изображающей подсчет палочек.

Некоторые цифры на иньских гадательных костях и чжоуских монетах и бронзовых сосудах напоминают «палочную» запись. На монетах эпохи Сражающихся царств числа прямо записаны в «палочной» нумерации.

В 202 г. до нашей эры счетные палочки изготавливались из бамбуковых стеблей, рогов или костей приблизительно 2,5 мм в диаметре и имели длину от 14 до 30 см, окрашенные в белый и чёрный цвета. Набор из 271 палочки связывался в шестигранную связку, которую было удобно держать в руке. Позже палочки изготавливались из нефрита и дерева. В IX в. китайцы стали отливать палочки из железа. Счетные палочки можно было раскладывать просто на ровной поверхности или на разграфленной счетной доске или куске ткани.

«Палочный» счет имел преимущество по сравнению с письмом, поскольку позволял «разобрать» числа, которые больше не требовались. Посредством перемещения палочек можно было легко производить действия сложения, вычитания, умножения и деления.

Счетные палочки и доска выполняли функции простейшей счетной машины, оперирование которой требовало четких алгоритмических предписаний. Целью китайских математиков было найти общие алгоритмы.

По мере распространения бумаги китайские математики стали все чаще проводить свои вычисления письменно, но по тем же принципам, которые использовались при манипулировании со счетными палочками. При этом цифры могли записываться не иероглифами, а комбинациями штрихов, повторяющих расположение счетных палочек.

При «палочном» счете цифры образуются как разные комбинации счетных палочек.

палочный счет

Рисунок 9. Цифры при палочном счёте

Числа от 1 до 5 обозначаются соответствующим количеством палочек. Для обозначения чисел от 6 до 9 одна палочка размещается перпендикулярно остальным, которых будет от 1 до 4 соответственно. Число 10 обозначается одной палочкой, размещенной в соседней позиции перпендикулярно палочке, обозначающей единицу. По правилам размещения палочек осуществлялась и запись чисел. Так, например, число 14 285 записывалось следующим образом.

До появления нуля при написании цифр в «палочной» нумерации на его месте оставлялся пробел, как это делалось и на счетных досках. Для вычисления поэтому использовали только девять знаков. Десятичная позиционная система китайцев была в буквальном смысле «системой места».

Использовавшиеся в Китае счетные палочки с числами, отмеченными на них (градуированные счётные палочки), были китайским вариантом костей Джона Непера (шотландского математика, 1550–1617), которые появились на Западе в 1617 г. и активно использовались в XVII в. В это же время они попали в Китай и Японию, где вызвали значительный интерес [2; 9].

Набор «неперовских» счетных палочек, применявшийся в Китае и имевший то же самое название, как и у древних простых счетных палочек, включал также нулевую палочку и палочки для квадратных и кубических корней. С помощью этого набора , по сути дела, целого устройства, можно было производить ряд арифметических операций, двигая одну палочку по отношению к другой.

Таким образом, можно сказать, что эти счетные палочки, возможно, получили бы и дальнейшее развитие в Китае, если бы их вскоре не заменили два других европейских изобретения – логарифмическая линейка и счетная машинка.

Абак

После эпохи Мин счётные палочки были вытеснены абаком, или абакусом.

Китайские счеты – абак (суаньпань) - широко используются в Китае с древних времен и до наших дней.

Китайский абак – это деревянная рама с рядами стержней (проволок или веревок), на которые нанизывались костяшки в виде приплюснутых шаров. Обычно устанавливалось 12 стержней, но их могло быть и больше (до 30). На каждом стержне размещалось 6–7 костяшек, разделенных планкой на две группы: ниже планки 5 костяшек, а выше – 1–2. Каждая верхняя костяшка эквивалентна пяти нижним.

Каждая нижняя костяшка эквивалентна 10 нижним костяшкам на соседнем стержне справа (или, по договоренности, слева). С помощью абака удобно выполнять действия сложения, вычитания и умножения, используя только одну из верхних костяшек, но для деления иногда удобнее иметь возможность указать на любом из столбцов число от 10 до 15, используя для этого обе верхних костяшки и соответствующее число нижних [2].

Хочу отметить, что абак очень похож на русские счёты, где используется десятичная система счисления и возможность оперировать четвертями, десятыми и сотыми дробными долями. Они появились в России на рубеже XV — XVI веков и активно применялись в торговле вплоть до последнего десятилетия XX века. От классического абака счёты отличаются увеличением разрядности каждого числового ряда и конструкцией, а также специально выделенным разрядом для счёта в четвертях. С момента своего возникновения счёты практически не изменились (Рисунок 12).

русские счеты

Рисунок 12. Русские счёты

Партнеры и статистика