Основные понятия модели Солоу

Американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1987 г. Роберт Солоу построил качественную модель, позволяющую оценить основные закономерности экономического роста и влияние отдельных факторов на этот процесс, которая в честь его имени получила название Модель Солоу 5.

В данной модели рассматривается однопродуктовая экономическая система, в которой действует один обобщенный участник, являющийся одновременно производителем и владельцем факторов производства. Таких факторов имеется два – объем капиталаК(t) и затраты труда L(t), являющиеся непрерывными функциями времени t. В любой момент времени выпуск продукции определяется производственной функцией: Y = F[K(t),L(t)] = Y(t) (3.1)

Предполагается, что производственная функция F(K, L) обладает следующими свойствами:

1. Производственная функция является линейно-однородной. Это значит, что справедливо равенство: F(mK,mL) = mF(K,L) (3.2)

2.Производственная функция удовлетворяет условиям:

(3.3)

3. Производственная функция вогнута по всем аргументам, то есть

(3.4)

Такими свойствами обладает производственная функция Кобба-Дугласа.Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.

Произведенная продукция может быть использована либо на потребление C(t), либо на сбережения, инвестируемые в расширение производства I(t). Доля доходов, идущая на инвестиции (норма сбережения) s – является постоянной. Тогда

Y(t) = C(t) + I(t) = C(t) + sY(t) (4.1)

С течением времени капитал изнашивается. Допустим, что норма амортизации (доля утраченного капитала за единичный интервал времени) b є (0,1) также постоянна. Тогда валовые инвестиции за период времени dt будут равны сумме амортизационных расходов и чистого прироста капитала I(t)dt = K(t)dt + dK = K(t)dt + , откуда

I(t) = sY(t) = K(t) + (4.2), откудаI(t) = sY(t) = K(t) +

Допустим, что прирост трудовых ресурсов за единицу времени пропорционален имеющемуся объему этих ресурсов: dL = nLdt.

Отсюда (4.3)

Проинтегрируем это уравнение: lnL = nt + C.

Константу C можно найти, если положить, что в начальный момент времени объем трудовых ресурсов составлял L0. Тогда: ln+ C,откудаlnL - ln = ln = nt,

ИлиL = (4.4)

Полученная закономерность соответствует модели Мальтуса, описывающей прирост населения (и пропорциональный ему рост объема трудовых ресурсов) в условиях отсутствия безработицы и неограниченного удовлетворения жизненных потребностей. Величина n называется темпом роста трудовых ресурсов. Разделим (4.2) почленно на L. С учетом однородности производственной функции (3.2)

F(K,L)=sF( (4.5)

Величина представляет собой капитлловооруженность – размер капитала, приходящийся на одного работника. Приведенная функция -это производительность труда, то есть выпуск продукции в расчете на одного работника. Рассмотрим скорость изменения капиталовооруженности. С учетом правил дифференцирования можно записать:

(4.6)

Тогда в (4.6) получается:

Подставив сюда вытекающее из (4.5) выражение, получим уравнение накопления капитала 7: (4.7)

Рассмотрим статическое состояние системы, при котором капитал, приходящийся на одного работника, остается неизменным: = . В этом случае производительность труда также постоянна:Это значит, что запас капитала и выпуск продукции растут с тем же темпом, с которым растет население.

Из (4.7) тогда следует, что стационарная величина капиталовооруженности может быть найдена из уравнения: sf(η*)=(δ+η)η*. (4.8)

Это уравнение имеет графическое решение, показанное на рисунке 4.

Рисунок 4. Графическое решение для статического состояния

Наклонная прямая показывает объем инвестиций, необходимый для поддержания постоянной капиталовооруженности. Кривая sf(η) показывает размер сбережений на душу населения, а расстояние между производственной функцией sf(η) и кривой сбережений sf(η) – объем потребления на душу населения.

Точка пересечения кривой сбережений и наклонной прямой необходимых

инвестиций определяет стационарный уровень капиталовооруженности sf(η) . Видно, что решение уравнения (4.8), а значит, и стационарное состояние системы, существует.

Из уравнения (4.8) можно понять, что при изменении нормы сбережения s должна измениться и стационарная капиталовооруженность sf(η) *.Это можно также видеть и из рисунка 4. Увеличение или уменьшение нормы сбережения приводит к смещению кривой сбережений соответственно вверх или вниз. При одном и том же положении прямой необходимых инвестиций точка пересечения кривой сбережений и прямой инвестиций в этих случаях смещается соответственно вправо или влево, что соответствует увеличению или уменьшению капиталовооруженности.