1. Основная часть.

Автоподобные фигуры – фигуры, части которых подобны целому.

Так пропорциональность проявляется в подобном строении дерева и его ветвей, в формах кристаллов и снежинок.

Фрактальная геометрия – новое направление в геометрии.

Фрактал (fractus) в переводе с латинского языка – изломанный, дробный, и основным его свойством является автоподобность.

Я решила исследовать материал об автоподобных фигурах в математике.

1.1. Логарифмическая спираль

Золотая, иначе логарифмическая спираль является примером автоподобной фигуры.

Раковины многих моллюсков, галактики, циклоны закручиваются в форме золотой спирали.

Формула логарифмической спирали:

r=a^ϕ, где a – некоторое фиксированное положительное число, а ϕ – угол, измеряемый в радианах.

Геометрические свойства логарифмической спирали

① Каждый следующий виток спирали подобен предыдущему. Если угол увеличится на 2π, т. е. точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличится в a^2π раз.

Последнее означает, что следующий виток подобен предыдущему и коэффициент подобия равен a^2π. Используя это свойство, построив один виток, можно получить остальные подобием.

② В любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение. (Касательная к точке A – предельное положение секущей AA₁ при A₁, стремящейся к A)